KÁOSZELMÉLET:
Kaotikus rendszerek
(2025 április)
ABSTRACT
A kaotikus rendszerek definíció szerűen megjósolhatatlan viselkedésű rendszerek, szemben az ismert kaotikus rendszerekkel, amelyek részben determinisztikus rendszerek, és csak véges idő elteltével válik a viselkedésük kaotikussá, megjósolhatatlanná. A kaotikus, vagy a kaotikussá váló viselkedés a rendszerek belső (immanens) tulajdonsága. Az ismert rendszereknél kezdőérték függő, és a viselkedés csak valószínűségi, sztochasztikus eszközökkel írható le.
A kaotikus rendszerek, pl. várakozási időkkel, véletlen bolyongási problémákkal, véletlen számokkal, véletlen gráfokkal kapcsolatosak, a leírás az örökifjúság fogalommal történik. Az örökifjú tulajdonság esetén a folyamat jövője független a folyamat jelenétől és múltjától. A kaotikus rendszerek gyakran élettartamok, várakozási idők, általában egy esemény bekövetkezéséig eltelő véletlen időtartamok hosszával kapcsolatosak.
Bizonyított, hogy az exponenciális eloszláscsaládban az örökifjú geometriai és az exponenciális eloszlások entrópiája maximális. Vektoros tárgyalásban a feltételes várható érték és a kaotikus viselkedéssel kapcsolatos zajfolyamat merőlegesek egymásra, ami lehetővé teszi a nem megjósolható, kaotikus rendszerek egyértelmű tárgyalását, és ekkor a feltételes várható érték zérus. A zajfolyamat gyakran fehér Gauss-folyamat vagy fehér zaj. A normális eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet független mennyiségek, az egyenletes eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet pedig feltételesen függetlenek, feltéve, hogy a várható érték zérus. / CHAOS THEORY: Chaotic systems are by definition unpredictable systems. The known chaotic systems are partially deterministic systems, and only after a finite time their behaviour becomes chaotic and unpredictable. Chaotic behaviour is an intrinsic (immanent) property of known systems, for known systems it is initial value dependent. The behaviour of systems can only be described by probabilistic, stochastic means. Chaotic systems are associated with, for example, waiting times, random walks, random numbers, random graphs, and are described by the concepts of independence and memorylessness. In the case of the memoryless property, the future of the process is independent of the present of the process and its past.
For a normal distribution, the expected value and the standard deviation are independent quantities, and for a uniform distribution, the expected value and the standard deviation are conditionally independent ones, iff the expected value is zero. In the exponential family of distributions, the entropy of the memoryless geometric and exponential distributions have maximum entropy.
In a vector discussion, the estimable conditional expected value and the noise process associated with chaotic behavior are perpendicular to each other since the independent noise process is not predictable.
BEVEZETÉS
Az ismert káoszelmélet (https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1oszelm%C3%A9let) olyan nemlineáris determinisztikus időfüggő és labilis rendszerekkel foglalkozik, amelyek viselkedése csak részben jelezhető előre, a determinisztikus törvényszerűségek ellenére. A tekintett labilis rendszerek érzékenyek a kezdőfeltételekre, amit pillangóhatásnak is neveznek. A káoszelméletben tekintett labilis determinisztikus rendszerek részben statisztikus, sztochasztikus
módszerekkel írhatóak le, (http://tetelwiki.mafihe.hu/index.php/Dinamikai_rendszerek,_kaotikus_viselked%C3%A9s), és nem feltétlenül azért mert bonyolultak hanem, mert a kaotikus viselkedés a rendszerek sajátos (immanens) tulajdonsága, véges idő után a viselkedésük függetlenné válik a kezdeti állapotoktól, feltételektől.
A valódi determinisztikus rendszerek esetén az aszimptotikus viselkedés t = végtelenben is egyértelműen határozott, azaz csak a részben determinisztikus labilis rendszerek viselkedhetnek kaotikusan. A kevés állapotjelzővel leírható determinisztikus rendszerek is mutathatnak megjósolhatatlan viselkedést. Például a kettős inga mozgása egy idő után függetlenné válik a kezdeti állapotától, nem tér vissza a kezdeti állapotába, strukturálisan labilis rendszer:
A kettős inga két, egymáshoz csatolt ingából álló egyszerű fizikai rendszer, melynek kaotikus mozgását kezdetben determinisztikus differenciálegyenletek határozzák meg, mégis a mozgása egy idő után véletlenszerű, kaotikus.Több változata van, a két inga hossza és tömege is lehet megegyező, vagy különböző. A mozgás leírása lehet 3 dimenziós és 2 dimenziós is (https://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html).
A kaotikus viselkedést mutató rendszerek csak részben determinisztikus rendszerek, ellentétben a káosz szó jelentésével, ami teljes rendezetlenséget (függetlenséget, megjósolhatatlanságot, memórianélküliséget) jelent. Véges idő után instabilitás, lokális rendezetlenség, véletlen viselkedés jellemzi a tekintett rendszereket. A viselkedés akkor labilis, ha két, egymáshoz közeli kezdőhelyzetből indítva a rendszerállapotok különbségei véges időben modellezhetetlenül, kiszámíthatatlanul nőnek. Edward Lorenz egy 1963-as cikkében felismerte a nemlineáris rendszerekben lehetséges nagy érzékenységet a kezdeti feltételek kis eltéréseire. Egyik előadásának a címe alapján sokszor a pillangóhatásként idézik a jelenséget: Predictability: Does the flap of a butterfly's wings in Brazil set off a tornado in Texas? („Megjósolhatóság: Vajon egy pillangó szárnycsapása Brazíliában okozhat-e tornádót Texasban?”). Kis eltérés a kezdeti feltételekben modellezhetetlen nagy változást okoz egy labilis -bizonytalan egyensúlyi állapotú- rendszer állapotában, ezért a viselkedésük hosszú távú előrejelzése lehetetlen, ami a labilis rendszerek alaptulajdonsága.
Létezik a fizikának egy kvantumkáosz-elméletnek nevezett területe, a káoszelmélet egy másik fejezete, amely a kvantummechanika törvényeit követő nemdeterminisztikus rendszerekkel foglalkozik (https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1oszelm%C3%A9let). Egy további új fejezete az elméletnek, amikor a rendszerek viselkedése megjósolhatatlan, és a rendszerek kizárólag statisztikai, valószínűségelméleti módszerekkel írhatóak le, a következőkben ismertetjük.
KAOTIKUS, MEGJÓSOLHATATLAN VISELKEDÉSŰ RENDSZEREK
A kaotikus folyamatok korrelálatlan, esetleg független események, növekmények sorozatai. A korrelálatlanság csak lineáris függetlenséget jelent. A kaotikus folyamatok elsősorban diszkrét idejű sztochasztikus folyamatok. A megjósolhatatlan viselkedésű rendszerek, folyamatok gyakran kapcsolatosak független növekményű, normális eloszlású folyamatokkal, a Wiener féle folyamattal, fehérzaj folyamatokkal és a Poisson folyamatokkal. A valószínűségeloszlások között több független (https://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCggetlen_val%C3%B3sz%C3%ADn%C5%B1s%C3%A9gi_v%C3%A1ltoz%C3%B3k)
kísérletekből származó valószínűségi változójú eloszlás ismert, a káoszelméletben a legfontosabbak az örökifjú tulajdonságú geometriai és az exponenciális eloszlások. A megjósolhatatlan (= kaotikus) rendszereknél a múlt és a jelen alapján számítható feltételes várható értékük zérus, amennyiben a folyamat várható értéke zérus.
A matematikában a Wiener-folyamat, ami bolyongási problémákkal (https://hu.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9letlen_bolyong%C3%A1s), a Brown-mozgással, és az azonos nevű fizikai folyamattal történelmi van kapcsolatban. A folyamat egy Norbert Wiener által felfedezett valós értékű, folytonos vagy diszkrét idejű független növekményű sztochasztikus folyamat, ahol a növekmények zérus várható értékű normális eloszlásúak, és amelynek a derivált folyamata a fehérzaj folyamat. Gyakran előfordul alkalmazott matematikában, a közgazdaságtanban, a kvantitatív pénzügyekben, az evolúciós biológiában és a fizikában. A Wiener-folyamat tulajdonságai:
- t független növekményű folyamat, azaz minden a növekmény független a múltbeli értékektől, egy folyamat független növekményű, ha 0 ≤ s1 < t1 ≤ s2 < t2 akkor Wt1 − Ws1 és Wt2 − Ws2 független valószínűségi változók.
- t növekményei normális eloszlásúak, zérus várható értékű, u szórású normális eloszlású:
- t folytonos esetben: majdnem biztosan folytonos t -ben.
- (https://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process)
A fehér zaj (amely a Wiener folyamat derivált folyamata, nincs memóriája, matematikai szerepe fontos, a valóságban nem létezik) olyan zaj, melynek
teljesítménysűrűsége független a frekvenciától, (https://hu.wikipedia.org/wiki/Feh%C3%A9rzaj). Bár a fehérzaj korrelálatlan folyamat, és független növekményű, elenyésző az esélye, hogy hosszú zérus növekményű intervallumokat kapjunk, de valahol 1 valószínűséggel előfordulhatnak egy végtelen folyamatban. A valóságban nem létezik végtelen sávszélességű fehérzaj, mert végtelen lenne a teljesítménye, ezért zérus várható értékű és sávkorlátozott fehérzajt tételezünk fel, és lényeges, hogy ekkor a várható értáke és a szórása feltételesen független mennyiségek. Numerikus szimulációk esetén a mintavételezésnél a felső határfrekvencia a mintavételi frekvencia fele. Fizikai jelenségek modellezésénél a Wiener folyamat a fontosabb.
A fizikában a Brown-mozgás a gázokban és folyadékokban lebegő (szuszpendált) részecskék szüntelenül zajló, véletlenszerű hőmozgása, amelyet Robert Brown angol botanikus fedezett fel vízben elkevert virágporszemcséket vizsgálva. A mozgás az anyag atomos szerkezetének fontos bizonyítéka volt. A káoszelméletben szereplő globális keveredés egyik jó példája, amely szerint tipikus kezdőfeltételekkel indítva kellően hosszú idő alatt a rendszer az összes lehetséges állapothoz közel kerül. A szuszpendált részecskék mozgásuk során állandó ütközéseket szenvednek el, viselkedésüket a Maxwell-féle sebességeloszlási függvény írja le. A Brown-mozgás trajektóriái általánosságban véletlenszerű, folyamatos és rendszertelen pályavonalak. A Brown mozgás nem korrelálatlan, mert a részecske adott időpillanatbeli helye függ attól, hogy az előző pillanatban hol volt. A Brown-mozgás egy Markov folyamat, ami azt jelenti, hogy a részecske adott helyzete csak az előző pillanatbeli helyzetétől függ, és az azt megelőző helyzetektől független. A Brown-mozgás jellegzetessége, hogy a folyamat nem stacionárius, a kezdeti helyétől az idő vagy a lépésszám négyzetgyökével arányosan távolodik.
Bolyongás az egész számokon véletlen lépésekkel
(https://www.mit.edu/~kardar/teaching/projects/chemotaxis(AndreaSchmidt)/random.htm)
A véletlen bolyongás az a folyamat, amikor véletlenszerűen mozgó tárgyak elvándorolnak onnan, ahonnan indultak. Véletlen bolyongás sokféle van, pl. egy olyan sztochasztikus folyamat, amely az egész számokon véletlen lépésekből áll, amely 0-nál kezdődik, és minden lépésnél egyenlő valószínűséggel +1 vagy −1 lépést tesz a számegyenesen. További példa egy molekula nyomvonala, miközben folyadékban vagy gázban halad (lásd a Brown-mozgást), a táplálékot kereső állat keresési útvonala, az ingadozó készletek árai, és egy szerencsejátékos pénzügyi helyzete. Sok folyamatot lehet modellezni véletlenszerű bolyongási modellek segítségével, még akkor is, ha a ezek a jelenségek valóságban nem feltétlenül véletlenszerűek. A kezdeti helytől a távolság a lépésszám négyzetgyökével arányosan távolodik (https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk). A távolság a lépésszám négyzetgyökével osztva egy állandóhoz, (2/π)1/2 -höz tart.
A képen 7 fekete pont látható, amelyek egy helyről indulnak változó lépésnagysággal két dimenzióban. Erdős Pál és Samuel James Taylor kimutatta 1960-ban, hogy 4-nél kisebb vagy egyenlő dimenziók esetén bármely két adott pontból induló két független véletlenszerű séta szinte biztosan végtelenül sok metszésponttal rendelkezik, 5-nél nagyobb dimenzióknál viszont szinte biztosan csak véges gyakran metszik egymást. A kétdimenziós véletlenszerű séta aszimptotikus függvényét a lépések számának növekedésével egy Rayleigh-eloszlás adja meg.
(https://www.mit.edu/~kardar/teaching/projects/chemotaxis(AndreaSchmidt)/random.htm)
Bolyongás egy dimenzióban, amikor a lépésnagyságokat véletlen számok határozzák meg, és a lépés iránya is véletlenszerű. A kérdés az, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy nagy t idő után valamilyen távolságban található a mozgó objektum? Mikor helyettesíthető a véletlen lépésnagyság a várható értékével? Ha minden lépést a 0 várható értékével helyettesítünk, akkor várhatóan helyben marad. H a lépések összegének a négyzetes várható értékét számítjuk, akkor a távolság a lépésszám négyzetgyökével távolodik.
Három dimenziós bolyongás, 1921-ben Pólya György bebizonyította, hogy 3 vagy annál nagyobb dimenzió esetén a dimenziók számának növekedésével csökken annak valószínűsége, hogy visszatér a mozgás az Origóba. 3 dimenzióban a valószínűség nagyjából 34%-ra csökken. (https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk)
A gradienssel mérhető, hogy mennyit változik a részecskék hőmozgása (egysége darab/ térfogat), amikor az egyik régióból a másikba mozognak.
Brown-mozgás két dimenzióban, gázokban, folyadékokban, amikor a hőmérséklet gradiense még nem nulla
(https://www.mit.edu/~kardar/teaching/projects/chemotaxis(AndreaSchmidt)/random.htm)
Függetlenség, feltételes függetlenség, Markov folyamatok, az örökifjú tulajdonság
A korreláció méri két tetszőleges érték közötti lineáris kapcsolat erősségét. A korrelálatlanság nem feltétlenül jelent függetlenséget, de bizonyos, hogy nincs az értékek között lineáris összefüggés. Ha két véletlen mennyiség korrelációja nulla, akkor korrelálatlanok, és a kapcsolatot feltételes valószínűségekkel írjuk le. A normális eloszlású valószínűségi változókra jellemző, hogy ha korrelálatlanok, akkor függetlenek is. Így a korreláció jól alkalmazható normális eloszlásúnak tekinthető mérhető mennyiségek közötti kapcsolat erősségének mérésére. A zérus várható értékű fehérzaj egyenletes eloszlású valószínűségi változókra jellemző, hogy a várható értéke és a szórása feltételesen függetlenek.
A feltételes függetlenség az események, halmazrendszerek, valószínűségi változók függetlenségének általánosítása a feltételes valószínűség és feltételes várható érték segítségével: a feltételes várható értéket a valószínűségszámításban (https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation) a feltételes valószínűség definiálására használják. A feltételes várható érték lehet valószínűségi változó vagy függvény, amelyet feltételes valószínűségi eloszlással számítanak, vagy például a folyamat jövőjéből képzett vektorának a folyamat múltjára történő vetítésével, pl. a realizációelméletben, a káoszelméletben zérus vagy konstans. Ha a valószínűségi változó csak véges számú értéket vehet fel, akkor a "feltétel" az, hogy a változó ezeknek az értékeknek csak egy részhalmazát veheti fel. Formálisan, abban az esetben, ha a valószínűségi változó egy diszkrét valószínűségi téren van definiálva, a "feltételek" ennek a valószínűségi térnek a partíciói.
Függetlenség: az elemi események halmaza páronként független, ha két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségeinek szorzata, vagy egy másik meghatározás szerint: egy esemény feltételes valószínűsége az esemény valószínűségével egyenlő. A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak. A sorozatokban az elemi események ismétlődnek, ekkor a függetlenség definíciója: ha egy esemény (vagy elemek) bekövetkezése csak a legutolsó eseménytől, elemtől függ, és az előzőektől független, akkor sorozat Markov folyamat.
Amennyiben az új elem az utolsó elemtől -és megelőző elemektől is- független, akkor sorozatot örökifjú sorozatnak nevezzük. Bizonyított, hogy az örökifjú (memorylessnessang, https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g) sorozat diszkrét esetben geometriai eloszlású, ami az egyenletes eloszlású diszkrét fehér zaj számjegysorozatainak az eloszlása, folytonos esetben pedig exponenciális, illetve Poisson eloszlású.
Tehát: A kaotikus, megjósolhatatlan rendszerek esetén a rendszerleírásra alkalmas eloszlások a normális, az egyenletes, a geometriai és az exponenciális, Poisson eloszlások. A normális és az egyenletes eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet független, illetve az egyenletesnél csak feltételesen független mennyiségek, ha zérus a várható érték. A geometriai és az exponenciális, Poisson eloszlások örökifjú eloszlások, azaz a folyamat jövője független a folyamat jelenétől és a múltjától. Léteznek a felsorolt eloszlásokból származtatott eloszlások is.
A Markov folyamatoknál csak a jelenétől függ a folyamat jövője. A Markov-folyamat kifejezés egy sztochasztikus folyamat emlékezet nélküli tulajdonságára utal, ami azt jelenti, hogy jövőbeli fejlődése független a történetétől, csak a jelenétől függ. Nevét Andrej Markov orosz matematikusról kapta. Az erős Markov-tulajdonságnál a „jelen” jelentését egy leállási időként ismert valószínűségi változóval határozzuk meg. A Markov féle véletlen mező kiterjeszti a tulajdonságot két vagy több dimenzióra.
Az exponenciális eloszlás sokszor használható véletlen időtartamok modellezésére:
- az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága jól modellezi a várakozási időket,
- egy egy ember kiszolgálása egy boltban, (sorbanállás-elmélet, https://hu.wikipedia.org/wiki/Sorban%C3%A1ll%C3%A1s-elm%C3%A9let),
- egy egy ember kiszolgálása egy boltban, (sorbanállás-elmélet, https://hu.wikipedia.org/wiki/Sorban%C3%A1ll%C3%A1s-elm%C3%A9let),
- egy üzletben két ügyfél érkezése közötti idő,
- egy számítás elvégzése egy számítógépen,
- egy számítás elvégzése egy számítógépen,
- forgalmi helyzeteket leíró elmélet,
- egy ember reakcióideje,
- két esemény bekövetkezése között eltelt idő pl. izzólámpák esetén (megbízhatóságelmélet),
- járványterjedés modellezése, egy fertőzés terjedése, de a gyógyulási időt is,
- radioaktív részecskék bomlási ideje.
- egy ember reakcióideje,
- két esemény bekövetkezése között eltelt idő pl. izzólámpák esetén (megbízhatóságelmélet),
- járványterjedés modellezése, egy fertőzés terjedése, de a gyógyulási időt is,
- radioaktív részecskék bomlási ideje.
A Poisson folyamat (https://hu.wikipedia.org/wiki/Poisson-folyamat) egy sztochasztikus folyamat**, mely események számát és időközeit modellezi, amelynél a T1, T2, . . . érkezések közötti időintervallumok exponenciális eloszlású független valószínűségi változók. Alapfolyamata egy időben folytonos számláló folyamat {N(t), t ≥ 0}, a következő tulajdonságokkal: N(0) = 0, és egymástól független növekmények jellemzik, továbbá stacionárius növekmények (bármely időközben az előfordulások számának eloszlása csak az időközök hosszától függ) és nincsenek egyidejű események. A következő esemény várakozási ideje exponenciális eloszlású. Memória-mentesség, az örökifjú tulajdonság jellemzi az eloszlást, azaz az egymás utáni beérkezési események függetlenek, és egy t időbeli eseményt nem befolyásolják a t idő előtti események bármelyike. Alkalmazásai:
-telefonhívások beérkezése,
- labdarúgó meccseken előforduló gólok,
- webszerverekhez beérkező kérelmek.
- részecske-emisszió radioaktív bomláskor (ami inhomogén Poisson-folyamat),
- a sorbanállás elméletben az ügyfelek-kiszolgálók sorbaállása sokszor Poisson-folyamat. A sorbanállás elméletben a legkorábbi, Erlang -féle modellben (https://hu.wikipedia.org/wiki/Sorban%C3%A1ll%C3%A1s-elm%C3%A9let) a legkorábbi, Erlang -féle modellben a beérkezések a Poisson-folyamat szerint történnek, a kiszolgálás idő egy határozott érték, a kiszolgálók száma a sorbanállási csomópontokon több mint 1 (k = 1, 2,...). A Poisson-folyamat a véletlenszerű eseményeket memóriamentes folyamatként kezeli, a különböző időintervallumoknál nem veszi feigyelembe, hogy korábban mi történt. Hasonló az exponenciális eloszlás is, a P folyamat exponenciális változók összegének folyamata.
A geometriai eloszlás felhasználható (https://hu.wikipedia.org/wiki/Geometriai_eloszl%C3%A1s):
- egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél,
- forgalmi helyzeteket leíró elmélet,
- készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása,
- várakozási idő meghatározására az első meghibásodásig
- gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között;
- gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között;
- alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata,
- biztosítási matematika,
- adatátvitel hibaarányának meghatározása,
- a geometriai eloszlás a független Bernoulli-kísérletek eloszlása. A geometriai eloszlás általánosítása a binomiális eloszlás több sikeres kísérletre, amit két módon fogalmaznak meg: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.
- a geometriai eloszlás az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás, az utóbbi jól közelíti a Poisson eloszlást is speciális esetben. A független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege, amennyiben mindegyiknek ugyanaz a paramétere, negatív binomiális eloszlású, de a negatív binomiális eloszlás nem örökifjú eloszlás.
Például a sorbanállás elméletben a vállalkozások logisztikájának elemzése geometriai eloszláshoz is vezet. A raktárak sorbaállási elméletet alkalmaznak a csomagok raktárból a vevőhöz történő szállítása során a rendszer egyenletes működésének biztosítására. Ekkor a vizsgált sor olyan dobozokból áll, amelyek arra várnak, hogy az ügyfeleknek kiszállítsák. A sorbanállási elmélet alkalmazásával a vállalkozások hatékonyabb rendszereket, folyamatokat, árképzési mechanizmusokat, személyzeti megoldásokat és érkezéskezelési stratégiákat fejleszthetnek ki az ügyfelek várakozási idejének csökkentése és a kiszolgálható ügyfelek számának növelése érdekében (https://hu.wikipedia.org/wiki/Sorban%C3%A1ll%C3%A1s-elm%C3%A9let) .
A műszaki tudományok kaotikus rendszerekkel kapcsolatos egyik területe a megbízhatóságelmélet, ahol kezdetben a műszaki megbízhatóság fogalmát a hibamentes működés (exponenciális eloszlású) valószínűségével azonosították (pl. az első meghibásodásig működő berendezések). A megbízhatóság
elmélet már magába foglalja a hibamentesség, a tartósítás az élelmiszeriparban, a karbantartás és a tárolhatóság fogalmát is. (Néhány oldal a témában:
https://www.2ge.hu/doc/def.html, https://kjit.bme.hu/images/Tantargyak/Bsc_(2016_elott)_targyak/Megbizhatosag_es_biztonsag/megbzhatsg_s_biztonsg_1.pdf, https://acadpubl.eu/hub/2018-118-22/articles/22b/94.pdf és a számítástechnikában: http://hadmernok.hu/2009_4_kun.pdf). Megbízhatósági alapfogalmak (https://encyclopediaofmath.org/wiki/Reliability_theory):
Meghibásodási gyakoriság (FR: failure rate): Megadja, hogy egy adott darabszámból álló vizsgált rendszer átlagosan hányszor hibásodik meg.
Mértékegysége 1/óra,(FIT – Failures In Time – vmennyi óra alatt átlagosan bekövetkező meghibásodások száma).
Meghibásodások közötti átlagos időköz (Mean Time Between Failures, MTBF): Megadja, hogy a rendszer két meghibásodása között átlagos időt.
Átlagos javítási idő (Mean Time To Repair, MTTR): megadja, hogy a rendszer meghibásodása utáni üzembeállítása átlagosan mekkora időt vesz igénybe.
A megbízhatóságelmélet fontos összetevői:
Működőképesség (reliability),
Rendelkezésre állás (availability),
Biztonság (safety),
Karbantarthatóság, javíthatóság (maintenability),
Tesztelhetőség (testability),
Áttekinthetőség, megismerhetőség (recognizability),
Kezelhetőség (operability),
Védettség (security).
Biztonság (safety),
Karbantarthatóság, javíthatóság (maintenability),
Tesztelhetőség (testability),
Áttekinthetőség, megismerhetőség (recognizability),
Kezelhetőség (operability),
Védettség (security).
Az első szakaszban a termék korai, esetleg szállítási hibák ideje, ahonnan a hibák száma folyamatosan csökken, és állandósul a hibagyakoriság. A harmadik szakasz az öregedés ideje, amikor az elhasználódás miatt nőni kezd a meghibásodási ráta. Sok kereskedelmi forgalomban lévő termékre jellemző a "fürdőkádgörbe", például a háztartási gépekre. (https://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCrd%C5%91k%C3%A1dg%C3%B6rbe)
A Weibull-eloszlás (https://hu.wikipedia.org/wiki/Weibull-eloszl%C3%A1s) általánosan használt eloszlás a megbízhatóságelméletben, egy speciális exponenciális eloszlás, az időfüggő meghibásodások hatványfüggvénnyel való megközelítésére szolgál, amivel a “fürdőkádgörbe” korai és elhasználódással kapcsolatos szakaszai, illetve az ezekkel kapcsolatos meghibásodások is jól közelíthetőek és számszerűsíthetőek. A meghibásodás-mentes működés valószínűsége egy (t, t+Δt) időintervallumban független a korábban eltelt időtől, és csak a Δt időintervallum nagyságától függ, azaz a jövőbeni meghibásodás független a rendszer előéletétől. Weibull szerint a túlélés valószínűsége: R(t) = exp -(t/β - γ/β)α , ahol az eloszlás paraméterei:
α - alakparaméter vagy Weibull kitevő, amely a Weibull eloszlás görbéjének alakját határozza meg:
– α<1: a korai meghibásodások szakasza, a meghibásodási ráta értéke az idő függvényében monoton csökken;
– α=1: a véletlen meghibásodások, a használati idő szakasza, a meghibásodási ráta értéke az idő függvényében állandó;
– α>1: az elhasználódással összefüggő meghibásodások szakasza, a meghibásodási ráta értéke az idő függvényében monoton nő;
β - az ún. karakterisztikus élettartam;
γ - a helyzetparaméter, amely a meghibásodások megkezdődésének időpontját határozza meg:
– γ>0: olyan üzemállapot, amelyben a meghibásodások csak egy t= γ idő után kezdődnek meg (pl. korrózió, dugaszcsatlakozók felületén bevonat képződése),
– γ=0: olyan üzemállapot, amelyben a meghibásodások már az igénybevétel kezdetén fellépnek.
A Weibull eloszlás egy másik változata (https://hu.wikipedia.org/wiki/Weibull-eloszl%C3%A1s) szerint x valószínűségi változó valószínűség-sűrűségfüggvénye:
ahol k > 0 az alakparaméter és λ > 0 a skálaparaméter. A Weibull-eloszlás*** több más valószínűségi eloszlással is kapcsolatos, pl. az exponenciális eloszlással (k = 1), és a Rayleigh-eloszlással (k = 2). A Weibull-eloszlás ez utóbbi kettő között egy interpolációnak tekinthető. Ha x az az érték, mely a meghibásodásig eltelt időt jelzi, akkor a Weibull-eloszlás az idővel arányos meghibásodási gyakoriságot jelzi. A k alakparaméter értelmezése:
- k<1 azt jelenti, hogy a meghibásodási gyakoriság idővel csökken. Ez akkor fordul elő, ha a kezdeti meghibásodás jelentős, és idővel ezért csökken a meghibásodás, mert a potenciálisan hibás elemek már kiestek a rendszerből.
- k=1 esetén a meghibásodási gyakoriság időben állandó. Ez azt jelenti, hogy a hibákat véletlenszerű külső események okozzák.
- k>1 azt jelzi, hogy a meghibásodási gyakoriság időben növekszik. Ez akkor fordulhat elő, amikor a vizsgálat tárgya az öregedési tartományba kerül, a rendszer alkotóelemei az elöregedés, és az elhasználódás miatt egyre gyakrabban hibásodnak meg.
Megj.: Az entrópia a hőtan és az informatika fogalma egy rendszer rendezetlenségi fokát jellemzi, a termodinamikában az anyagi rendszerek molekuláris rendezetlenségét és a termodinamikai valószínűségének a mértékét. A rendszerállapotok termodinamikai valószínűségeit jelölje ωi , i = 1,2,3,...,
akkor -k ln ωi az entrópia az ωi állapotban, ahol k a Boltzmann-állandó. Ha egy rendszer a környezetéből nem vesz fel hőt, akkor a rendszerben lejátszódó spontán folyamatok során a rendszer entrópiája mindaddig nő, amíg egyensúlyi állapotba jut, és egyensúlyi állapotában a rendszer entrópiája maximális. A termodinamika második törvénye kimondja, hogy az izolált rendszer entrópiája nem csökken. Egy nyílt rendszer entrópiája csökkenhet, de az Univerzum teljes entrópiája nem. Ha egy folyamat reverzibilis, az entrópia nem változik, míg a visszafordíthatatlan folyamatok mindig növelik a teljes entrópiát. A termodinamikai entrópia fogalmát Rudolf Clausius vezette be. (Tisztelet illeti Boltzmannt a logaritmikus függés felismeréséért.) Formai hasonlóság alapján Neumann János javasolta Shannonnak, hogy az informatika alapképletét nevezze entrópiának (https://hu.wikipedia.org/wiki/Shannon-entr%C3%B3piaf%C3%BCggv%C3%A9ny). Bizonyított, hogy az exponenciális eloszlás casládban a geometriai és az exponenciális eloszlások entrópiája maximális. Az exponenciális eloszlás családra vonazkozóan ld. https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution .
Várható, hogy a káoszelmélet a feltételes valószínűség és a feltételes várható érték fogalmak alapján építhető. Vektoros tárgyalásban a feltételes várható érték és a kaotikus viselkedéssel kapcsolatos zajfolyamat* merőlegesek egymásra, ami lehetővé teszi a nem megjósolható rendszerek egyértelmű tárgyalását, leírását. A Bayes becslés (https://hu.wikipedia.org/wiki/Bayes-f%C3%A9le_rekurz%C3%ADv_becsl%C3%A9s) esetén pedig számszerűsíthetőek az a priori és posteriori valószínűségek. Ha a változók normál eloszlásúak és az átmenetek lineárisak, a Bayes-becslés és a Kálmán-szűrővel számított feltetéles várható érték megegyeznek, és az állítás általánosítható zérus várható értékű egyenletes eloszlású fehérzajra is.
ÖRÖKIFJÚ PROBLÉMÁK
Egy dimenziós eset-ben diszkrét örökifjú sorozatokat fogunk vizsgálni, ezek geometriai eloszlásúak. Ha valamely sorozat eseményeinek, elemei egyenletes eloszlásúak, valószínűségei egyenlőek, 1/b értékűek, ha az elemi események száma b, ami jelölje a számrendszer alapszámát is, akkor a független elemi események valamely tetszőleges k hosszú (k=1,2,3,...,kmax) független sorozatának valószínűsége (b-1)/bk , és geometriai eloszlású. Az eloszlás paramétere (b-1)/b, egyben az egységnyi hosszú sorozatok, a sziglik valószínűsége. Az eloszlás várható értéke is b/(b-1), a valószínűségek összege pedig 1 – b-kmax . A várható érték létezésének feltétele, hogy kmax megszámlálhatóan végtelen legyen.
Megj.: Nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a Haar mérték (https://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure) bináris esetben véges, azaz normálható mérték. Bár a Haar mérték kiszámítása bonyolult, de lényeges állítás, hogy bináris nem megszámlálható esetben is létezik normálható mérték (mert nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a számtani közép és a gyakoriságok általában divergálnak).
Például valakinek a születési dátuma egy véletlen szám, nnhhéé szerkezetben lekérdezhető az https://www.piday.org/find-birthday-in-pi/ oldalon. Egy
2011 január 11.-én született diák születési dátuma a '11·11·11' , és sorozatként a pí szám 51150 számjegyénél kezdődik, a valószínűsége 9 x10-6. A véletlen egybeesés olyan események, körülmények egybeesése, amelyeknek nincs -vagy nem ismert az- okozati összefüggése, és amelyeknek a okszerűnek tekintése hamis állításokhoz, esetleg a fatalizmusba vetett hithez vezethet, az utóbbi szerint az események egybe esése pontosan eltervezett. Statisztikai szempontból az egybeesések törvényszerűek. Példa erre a születésnapi probléma, mely szerint annak a valószínűsége, hogy két embernek egyforma születésnapja van, már meghaladja az 50%-ot egy 23 fős csoportban. (A születésnapi probléma általánosítása: https://www.mdpi.com/2227-7390/12/24/3882: M. Pollanen (2024) A Double Birthday Paradox in the Study of Coincidences, Mathematics 23(24), 3882.) A véletlenek nemcsak a mindennapi életben, hanem a tudományos és statisztikai vizsgálatokban is előfordulnak. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika elegendő az egybeesések magyarázatára: az egymástól független események nem egymást kizáró események, lehet nem zérus az együttes előfordulásuk valószínűsége.
2011 január 11.-én született diák születési dátuma a '11·11·11' , és sorozatként a pí szám 51150 számjegyénél kezdődik, a valószínűsége 9 x10-6. A véletlen egybeesés olyan események, körülmények egybeesése, amelyeknek nincs -vagy nem ismert az- okozati összefüggése, és amelyeknek a okszerűnek tekintése hamis állításokhoz, esetleg a fatalizmusba vetett hithez vezethet, az utóbbi szerint az események egybe esése pontosan eltervezett. Statisztikai szempontból az egybeesések törvényszerűek. Példa erre a születésnapi probléma, mely szerint annak a valószínűsége, hogy két embernek egyforma születésnapja van, már meghaladja az 50%-ot egy 23 fős csoportban. (A születésnapi probléma általánosítása: https://www.mdpi.com/2227-7390/12/24/3882: M. Pollanen (2024) A Double Birthday Paradox in the Study of Coincidences, Mathematics 23(24), 3882.) A véletlenek nemcsak a mindennapi életben, hanem a tudományos és statisztikai vizsgálatokban is előfordulnak. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika elegendő az egybeesések magyarázatára: az egymástól független események nem egymást kizáró események, lehet nem zérus az együttes előfordulásuk valószínűsége.
Másik példa: ha adott valamilyen előre rögzített szöveg, és egy majom korlátlan ideig véletlenszerűen ütögeti egy írógép billentyűit, akkor igen kis valószínűséggel, de igen hosszú idő után már majdnem biztosan az adott szöveget is leírja. Az állítás matematikai bizonyítása lehetséges. Cicero így érvelt a De natura deorum-ban: „Aki ebben hisz, az azt is elhiheti, hogy egy zsáknyit a huszonegy betűből földre szórva az Annales lesz olvasható. Kételkedem abban, hogy akár csak egy rövid szakasza is megjelenne.”
(https://hu.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9gtelen_sok_majom_%C3%A9s_%C3%ADr%C3%B3g%C3%A9p_t%C3%A9tele). Cicero jól érezte, hogy az értelmes szöveg megjelenésének csak kis valószínűsége van, és a lehetséges megjelenés a szöveg hosszával fordítva arányos. Tegyük fel, hogy a kérdéses Annales (történelemkönyv) 100 oldal hosszú, oldalankét 100 betűvel, jellel (ami nekünk kevés, de egy majomnak sok). Így a könyv összesen 10000 betűt vagy jelet tartalmaz. A majom számára közömbös, hogy mit írt le előzőleg, ezért is az örökifjú tulajdonság, az eloszlás geometriai. Az írógép -a latin ábécé 27 betűs- betűinek és jeleinek száma legyen összesen 30. Minden 10000 hosszú mintázat valószínűsége egyenlő az örökifjú tulajdonságnak megfelelően, azaz 29 x 30-10000, de hogy hol jelenik meg egy végtelen hosszú sorozatban, arról semmit nem tudunk állítani, feltehetően sokára, és egy valószínűséggel, majdnem biztosan (az egy valószínűségű esemény nem biztos esemény, csak "majdnem biztos").
Kétdimenziós eset-ben a véletlen számok ábrázolása b függvényében, több dimenziós általánosítás is lehetséges. A képek generálása véletlen számok sorokba tördelésével, ábrázolásával történik, vagy minden képponthoz, pixelhez véletlen színgenerátorral rendelnek egy szint. Jó minőségű véletlen számok ábrázolásai megkülönböztethetetlenül hasonlítanak egymásra. Két különböző véletlen szám ábrázolását a koordinátákon nem sikerült találni.
b =2 esetben:
Vegyük észre, hogy a mintázat két dimenzióban fehér-fekete foltos, helyenként hálós-vonalas, nyilvánvalóan szabálytalan mintázatokat mutat nagyobb b értékekre is. A pixelszám növelésével kis valószínűséggel nagyobb fekete-fehér foltok, hosszabb hálóvonalak jelennének meg, annak megfelelően, hogy csökkenő valószínűséggel hosszabb sorozatok is előfordulnak egydimenziós esetben. Aszimptotikusan elfeketedhet-kifehéredhet egy azonos pixelszámú minta-kép.
Ha b=3 (fehér, fekete, szürke)
b= 4 (zöld sárga kék piros)
b = 5 (fehér zöld sárga kék piros)
:
(https://graphicdesign.stackexchange.com/questions/26174/how-can-i-create-a-random-pixelated-pattern, és https://graphicdesign.stackexchange.com/questions/26174/how-can-i-create-a-random-pixelated-pattern)
Gráfok esetén (https://ematlap.hu/tudomany-tortenet-2020-11/957-mi-is-az-a-perkolacio): a perkoláció (szó szerint szivárgás) minden véges vagy végtelen gráfon értelmezhető, és két alapváltozata van: élperkolációban a gráf éleit egymástól függetlenül ugyanakkora p valószínűséggel nyíltnak, illetve 1-p -vel zártnak sorsoljuk ki; csúcsperkolációban a csúcsokat sorsoljuk nyíltnak vagy zártnak. A két változatban az alapjelenségek ugyanazok. A zárt élekre úgy gondolunk, mint amiket töröltünk, s kérdés az, hogy a megmaradó nyílt éleken keresztül honnan hová lehet eljutni, azaz melyek a megmaradt véletlen gráf összefüggő komponensei. Folyadékok és gázok szivárgási modelljeinél hasznos vizsgálat.
A nyílt éleken keresztül honnan hová lehet eljutni négyzetrács és p=0.25, 0.5, 0.75 értékek esetén? A leghosszabb út pirossal kiemelve
*
Abból, hogy egy folyamat nemstacionárius sztochasztikus folyamat nem az következik, hogy kaotikus, megjósolhatatlan. A nem stacionárius sztochasztikus folyamatok sokszor átalakítással stacionáriussá alakíthatóak. A legegyszerűbb példák esetén a trendkomponensek (lineáris, exponenciális, logisztikus, periodikus...) becslésének segítségével kiküszöbölhetőek, vagy differenciálással, differencia képzéssel a növekmény folyamatokban stacionárius sztochasztikus folyamattá alakíthatjuk az eredeti folyamatot. A nemlinearitás is jól kezelhető szakaszonként lineáris becsléssel, vagy ha a becsült paraméterekben lineáris a modell. A trendkomponensek levonásának célja, hogy végül lineáris modellekkel, ARMA-val vagy Kálmán-szűrővel leírjuk a rendszert. A kaotikus rendszerek leírására a most tárgyalt módszerek alkalmatlanok, mert a kaotikus rendszerek nem megjósolhatóak. Vektortérben történő rendszerleírásnál a folyamat jövőjét vetítjük a folyamat jelenére és múltjára, a vetületvektor a becslés, ami egy feltételes várható érték vektor, amelyre a nem megjósolható hibavektor merőleges. Az utóbbi a kaotikus viselkedésű, eloszlása zérus várható értékű gaussi fehér zaj, vagy egyenletes eloszlású fehérzaj. Amikor a feltételes vetületvektor hossza eltűnik, akkor a folyamat teljesen kaotikus folyamat, ami a megjósolhatatlanság, kiszámíthatatlanság matematikai definíciója.
**
Sztochasztikus folyamatok például (https://hu.wikipedia.org/wiki/Sztochasztikus_folyamatok_list%C3%A1ja)
Bernoulli-folyamat
Bernoulli-séma
Születés-halál folyamat
Elágazási folyamat
Elágazó véletlenszerű mozgás
Brown-híd
Brown-mozgás
Kínai étterem folyamat
CIR-folyamat
Kointelláció
Folytonos sztochasztikus folyamat
Cox-folyamat
Dirichlet-folyamat
Véges dimenziós eloszlás
Galton–Watson-folyamat
Gamma-folyamat
Gauss-folyamat
Gauss–Markov-folyamat
Girsanov-tétel
Homogén folyamatok
Karhunen–Loève-tétel
Lévy-folyamat
Helyi idő (matematika)
Huroknélküli véletlenszerű mozgás
Markov-folyamatok
Markov-lánc
Folytonos idejű Markov-lánc
Markov-folyamat
Semi–Markov-folyamat
Gauss–Markov-folyamat
Martingál
Ornstein–Uhlenbeck folyamat
Pont folyamatok
Poisson-folyamat
Populáció folyamat
Valószínűségi sejtautomata
Sorbanállás-elmélet
Sorbanállás
Valószínűségi mező
Gauss-féle valószínűségi tér
Markov-féle valószínűségi tér
Folytonos mintavételi folyamat
Állandó valószínűségi folyamat
Sztochasztikus kalkulus
Itó-kalkulus
Malliavin-kalkulus
Szemimartingál
Stratonovich-integrál
Sztochasztikus differenciálegyenlet
Távíró folyamat
Idősorok
Wald-martingál
Wiener-folyamat
Bernoulli-séma
Születés-halál folyamat
Elágazási folyamat
Elágazó véletlenszerű mozgás
Brown-híd
Brown-mozgás
Kínai étterem folyamat
CIR-folyamat
Kointelláció
Folytonos sztochasztikus folyamat
Cox-folyamat
Dirichlet-folyamat
Véges dimenziós eloszlás
Galton–Watson-folyamat
Gamma-folyamat
Gauss-folyamat
Gauss–Markov-folyamat
Girsanov-tétel
Homogén folyamatok
Karhunen–Loève-tétel
Lévy-folyamat
Helyi idő (matematika)
Huroknélküli véletlenszerű mozgás
Markov-folyamatok
Markov-lánc
Folytonos idejű Markov-lánc
Markov-folyamat
Semi–Markov-folyamat
Gauss–Markov-folyamat
Martingál
Ornstein–Uhlenbeck folyamat
Pont folyamatok
Poisson-folyamat
Populáció folyamat
Valószínűségi sejtautomata
Sorbanállás-elmélet
Sorbanállás
Valószínűségi mező
Gauss-féle valószínűségi tér
Markov-féle valószínűségi tér
Folytonos mintavételi folyamat
Állandó valószínűségi folyamat
Sztochasztikus kalkulus
Itó-kalkulus
Malliavin-kalkulus
Szemimartingál
Stratonovich-integrál
Sztochasztikus differenciálegyenlet
Távíró folyamat
Idősorok
Wald-martingál
Wiener-folyamat
***
A Weibull-eloszlás (https://hu.wikipedia.org/wiki/Weibull-eloszl%C3%A1s) a megbízhatósági számításoknál általánosan használt, még a következő területeken alkalmazzák:
Túlélés-analízis
Hibananalizis
Ipari termelésnél (szállítási idők stb.)
Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás)
Hibananalizis
Ipari termelésnél (szállítási idők stb.)
Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás)
Megbízhatóságelmélet
Extrémérték-elmélet
Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál)
Általános (nem élet-) biztosításoknál
Technológiaváltozásoknál
Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése)
Granulált részecskék méretének becslésénél
Extrémérték-elmélet
Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál)
Általános (nem élet-) biztosításoknál
Technológiaváltozásoknál
Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése)
Granulált részecskék méretének becslésénél