A valószínűségelméletben és a statisztikában a lapultság (https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis#Excess_kurtosis, görögül: κυρτός, kyrtos jelentése "görbe, íves") egy valós értékű véletlen változó valószínűségi eloszlásának a "szélességét", a várható értékétől távoli adatok gyakoriságát leíró mérték. A távoli adatok súlyát, és nem az adatok átlaghoz közeli konfigurációját írja le. Leggyakrabban relatív negyedik momentumot használják: κ = μ4/σ4 - t.: a lapultság a standardizált adatok negyedik hatványának várható értéke, normális eloszlás esetén 3.
Moors szerint standardizált z változókra: ha z = (X - μ)/σ, ahol X egy véletlen változó, μ a várható értéke, és σ a szórása, és a lapultság κ = E [ z4] , ahol E várható értéket jelöl, és mert standardizált változókra σ4 = 1, ekkor κ = E[ z4] = var [ z2] + [ E[ z2] ]2 = var [ z2] + 1. A normális eloszlástól való eltérést is használják, ekkor 3 -mal csökkentik az értékét. Következik, hogy κ = var [ z2] + 1 reciproka kapcsolatos a csúcsossággal.
Definíció: 1/κ = csúcsosság.
Ha k > 0, akkor a z standardizált változó esetén a Cantelli (https://en.wikipedia.org/wiki/Cantelli%27s_inequality) egyenlőtlenség
L: logisztikus eloszlás, zöld görbe, lapultság többlet a normális eloszláshoz viszonyítva = 1,2
N: normális eloszlás, fekete görbe (fordított parabola a logaritmikus diagramon), lapultság többlet a normális eloszláshoz viszonyítva = 0
C: emelt koszinusz eloszlás, ciánkék görbe, lapultság többlet a normális eloszláshoz viszonyítva = -0,593762...
W: Wigner-félkör eloszlás, kék görbe, lapultság többlet a normális eloszláshoz viszonyítva = -1
U: egyenletes eloszlás, magenta görbe (az egyértelműség kedvéért mindkét képen téglalapként látható), lapultság többlet a normális eloszláshoz viszonyítva = -1,2.
holds, and when k2 = var [ z 2] :
P { z ≥ var [ z 2] 1/2 } ≤ 1/κ, where κ = kurtosis,
1/κ = σ4/ μ4, and for k 2 + 1 = κ = E[ z 4] = var [ z 2] + [ E ( z 2) ] 2 = var [ z2] + 1 by Moors. (Moors, J. J. A. (1986), "The meaning of kurtosis: Darlington reexamined", The American Statistician, 40 (4): 283-284) and https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis#Excess_kurtosis) and where var [ z2] = E [ z2 - E(z2)]2 .
Values of κ - 3 are defined as excess kurtosis:
- S: hyperbolic secant distribution, orange curve, excess kurtosis = 2
- L: logistic distribution, green curve, excess kurtosis = 1.2
- N: normal distribution, black curve (inverted parabola in the log-scale plot), excess kurtosis = 0
- C: raised cosine distribution, cyan curve, excess kurtosis = −0.593762...
- W: Wigner semicircle distribution, blue curve, excess kurtosis = −1
- U: uniform distribution, magenta curve (shown for clarity as a rectangle in both images), excess kurtosis = −1.2.
- D: Laplace distribution, also known as the double exponential distribution, red curve (two straight lines in the log-scale plot), excess kurtosis = 3 (c.f. (https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis)