VÉLETLEN SZÁMOK, VÉLETLEN RÉSZSOROZATOK, MINTÁZATOK KIOLVASÁSA 

(2023)

Független sorozatok származtatása

Függetlenség: az elemi események halmaza páronként független, ha két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségeinek szorzata. Egy másik meghatározás szerint egy esemény feltételes valószínűsége az esemény valószínűségével egyenlő. A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak. Sorozatok esetén az elemi események ismétlődnek, ekkor a függetlenség definíciója: ha az új elem (vagy elemek, események) bekövetkezése csak a legutolsó elemtől függ és az előző elemektől független, akkor sorozat Markov folyamat. Amennyiben az új elem az utolsó elemtől -és megelőző elemektől is- független, akkor sorozatot

                                                                                                              örökifjú sorozatnak

(https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g) nevezzük. Bizonyított, hogy az örökifjú sorozat diszkrét esetben geometriai eloszlású, és folytonos esetben exponenciális eloszlású. A diszkrét esetet fogjuk vizsgálni. Az örökifjú tulajdonság egyik következménye, hogy valamely sorozat következő értékének -feltételes- valószínűsége 1/b, ha az elemi események száma b, ami egyben egy számrendszer alapszámát is jelöli. Feltételezzük, hogy az események egyenlő, 1/b  valószínűségűek.

A független elemi események valamely tetszőleges sorrendű, azaz mintázatú  k_max hosszú független sorozatának valószínűsége:

 (b-1)/b  1/b^{kmax - 1}

és a geometriai eloszlás paramétere (b-1)/b, az eloszlás várható értéke b/(b-1). A várható értékek létezésének feltétele, hogy  k_max  megszámlálhatóan végtelen legyen, a valószínűségek összege ekkor 1 – b^-kmax = 1.

Nem megszámlálható esetben érdekes speciális mesterséges sorozatokat, egyben bizonyítottan irracionális számokat kapunk: a természetes számokat egymás után írva a Champernowne számot, (nem igazi véletlen szám, https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html), vagy a prímszámokat (ami az Erdős-Copeland féle szám), amikor a valószínűségek divergálnak, és a várható érték nem létezik. 

Állítás: Amikor az  (b-1)/b  1/b^{kmax - 1} valószínűségeket relatív gyakoriságokkal becsüljük: a becslések konvergenciasebességét összehasonlítva e, pi, vagy a prímszámokat egymás után írva, stb., és a  Champernowne szám esetén, akkor a Champernowne szám esetén a leggyorsabb a konvergenciasebesség, minden esetben 1/k szerinti, a b = 2 esetén a leggyorsabb. Két, egymást követő, nem egyező jegy jelöli ki egy sorozat kezdetét, vagy egy meghatározott jegyet keresünk a sorban.  

Érdekesség: homogén sorozatok kiolvasása esetén a sorozat elején és végén különböztetjük meg a nem egyező számjegyeket, ezért a szinglik gyakorisága nem (b-1)/b, hanem (b-1)²/b² , a kiolvasás módja miatt, bináris esetben 1/4. Következmény, a gyakoriságok összege b/(b-1), nem egyenlő az egységgel.

Nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a Haar mérték (https://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure) bináris esetben véges, azaz normálható mérték. A Haar mérték kiszámítása bonyolult, de lényeges állítás, hogy bináris esetben létezhetnek normálható mértékek, (nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a számtani közép és a gyakoriságok általában divergálnak).

Legyen a távolság definíciója a véletlen számokon,azaz a távolság mértéke: a számjegyek k száma, ha a jegyek 1/b gyakoriságúak. Előírt tulajdonságú jegyek távolsága mérhető, pl. a 9-el osztható számoké, csoportoké 1/9. ( Megj,: Folyonos esetben intervallumokat definiálunk). 

Mi a várható értéke a k hosszúságú különböző jegyű mintázatoknak, egy adott b számrendszerben,

pl. mekkora két azonos jegy várható távolsága? ( A két azonos jegy között lehet több eltérő azonos digit), A távolság (b-1)/b ^k, k= 1,2,3...., és 1/b

alapján számított valószínűség reciprokával arányos.

Érdekesség: Legyen a páros számjegyek indikátor változója 1, az páratlanoké 0 a bináris véletlen számok. pl. a Champernowne szám esetén, (https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html): ekkor a megszámlálhatóan végtelen 010101... indikátorsorozatokat kapunk, a sorozat szabályos. Következmény: bináris irracionális sorozatoknál a lehetnek racionális indikátorsorozatok. 

Egy másik érdekesség: a nulla-egy átmeneteket jelöljük 1-esekkel, az egy-nulla átmeneteket jelöljük 0-val, az indikátor sorozat ekkor is 1,0,1,0,1, . Az ismétlődő szakaszok miatt a várható érték, a számtani közép létezik. Véges indikátor mértékekre csak bináris nem megszámlálható sorozatok esetén számíthatunk.  Hármas és nagyobb számrendszerekben már  nem megszámlálható az indikátorsorozat.

Szabályos pl. az irracionális 101100111000...  irracionális sorozat is, melyekre P(0) = P(1) = 0.5. A gyakoriságok számítása nélkül értelmezhető a véges várható érték, speciális esetekben.