A káoszelmélet új fejezete:

 

Teljesen kaotikus viselkedésű rendszerek

 

 

 

(2025 április)

 

 

 

ABSTRACT

 A kaotikus rendszerek csak részben determinisztikusak,  egy véges idő elteltével viselkedésük kaotikussá válik, és független lesz a kezdeti állapotuktól. A kaotikus viselkedés e rendszerek belső (immanens) tulajdonsága, a viselkedés csak valószínűségi, sztochasztikus eszközökkel írható le. Léteznek valódi kaotikus rendszerek, pl. várakozási időkkel, véletlenszerű sétaproblémáknál véletlenszerű iránylépésekkel, véletlen számokkal, véletlenszerű grafikonokkal kapcsolatban. Egy kaotikus rendszer leírása a függetlenség és az örökifjúság fogalmakkal történik. Valódi kaotikus rendszerek esetében a leíró eloszlások a normál, egyenletes, geometriai és exponenciális eloszlások. A normál eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet függetlenek, az egyenletes eloszlásnál pedig a várható érték és a szórásnégyzet feltételesen független mennyiségek, amikor a várható érték nulla. A geometriai és az exponenciális eloszlások örökifjú eloszlások, azaz a folyamat jövője független a jelenétől és a folyamat múltjától, a Markov-folyamatok esetében a jövő a jelenétől függ. A memória nélküliség tulajdonság megkülönbözteti az exponenciális és geometriai eloszlásokat a más eloszlásokkal vagy determinisztikus módszerekkel leírható rendszerektől. / New chapter in chaos theory: Systems with completely chaotic behaviour, Chaotic systems are only partially deterministic because after a finite time their behaviour becomes chaotic and independent of their initial state. Chaotic behaviour is an intrinsic (immanent) property of these systems that can only be described by probabilistic, stochastic means. There exist real chaotic systems, e.g. with waiting times, in random walk problems with random directional steps, random numbers, random graphs. The description of the chaotic system is done using the concepts of independence and memorylessness. For real chaotic systems, the descriptive distributions are the normal, uniform, geometric and exponential distributions. For the normal distribution, the expected value and the variance square are independent, and for the uniform distribution the expected value and the variance square are conditionally independent quantities when the expected value is zero. Geometric and exponential distributions are memoryless distributions, i.e. the future of the process is independent of the present and the past of the process, for Markov processes the future depends on the present. The memorylessness property distinguishes exponential and geometric distributions from systems that can be described by further distributions or with deterministic methods.

 

 

 

 

 

 

A káoszelmélet (https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1oszelm%C3%A9let) olyan nemlineáris determinisztikus időfüggő rendszerekkel foglalkozik, amelyek viselkedése csak részben jelezhető előre, a determinisztikus törvényszerűségek ellenére. A tekintett rendszerek érzékenyek a kezdőfeltételekre, amit pillangóhatásnak is neveznek.

Egyszerű, néhány állapotjelzővel leírható determinisztikus rendszerek is mutathatnak összetett, megjósolhatatlan viselkedést. A káoszelméletben tekintett determinisztikus rendszerek részben statisztikus, sztochasztikus (http://tetelwiki.mafihe.hu/index.php/Dinamikai_rendszerek,_kaotikus_viselked%C3%A9s)

módszerekkel írhatóak le, és nem azért mert bonyolultak, gyakran bonyolultak, hanem mert a kaotikus viselkedés a rendszerek sajátos (immanens) tulajdonságuk, véges idő után a viselkedésük függetlenné válik a kezdeti állapotoktól. A valódi determinisztikus rendszerek esetén az aszimptotikus viselkedés t = végtelenben is egyértelműen határozott, tehát csak a részben determinisztikus rendszerek viselkedhetnek kaotikusan. 

Például a kettős inga mozgása aszimptotikusan független a kezdeti állapotától.

 

 

                                                                            (https://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html)

 

A kettős inga két, egymáshoz csatolt ingából álló egyszerű fizikai rendszer, melynek kaotikus mozgását kezdetben determinisztikus differenciálegyenletek határozzák meg, mégis a mozgása egy idő után véletlenszerű, kaotikus.Több változata van, a két inga hossza és tömege is lehet megegyező, vagy különböző. A mozgás leírása lehet 3 dimenziós és 2 dimenziós is (https://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html).

 

 

 

                                                                                                                                                              

                                                                                      (https://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html)

 

A kaotikus viselkedést mutató rendszerek csak részben determinisztikus rendszerek, ellentétben a káosz szó jelentésével, ami teljes rendezetlenséget (korrelálatlanságot, esetleg függetlenséget) jelent. Véges idő után instabilitás, lokális rendezetlenség jellemzi a tekintett rendszereket. A viselkedés akkor lokálisan instabil, ha két, egymáshoz közeli kezdőhelyzetből indítva a rendszerállapotok különbségei véges időben modellezhetetlenül, kiszámíthatatlanul nőnek. Az 1960-as évek közepén Andrej Nyikolajevics Kolmogorov, Vlagyimir Igorevics Arnold és Jürgen Moser megalkották a róluk elnevezett Kolmogorov–Arnold–Moser-tételt (KAM-tételt), amely konzervatív rendszerek esetén adja meg a kaotikus viselkedés feltételeit. 

 

Edward Lorenz amerikai meteorológus 1961-ban egy, ma már igen lassúnak tekintett számítógéppel (Royal-McBee LGP-30) vizsgálta a három szabadságfokú nemlineáris konvekciómodelljét. Egy alkalommal szeretett volna egy adatsort újra számítani, és hogy időt spóroljon meg, egy korábbi szimuláció kimenetét táplálta vissza a számítógépbe. Az új eredmény gyorsan eltért a legutóbbi eredményektől. A gép hibájára gyanakodott, de mint azt kiderítette, nem a számítógépben volt a hiba. A  számítógép az adatokat 6 tizedesjegy pontosan ábrázolta, de Lorenz csak 3 jegy pontossággal írta vissza a gépbe. Ez a kis pontatlanság okozta a rendkívül nagy eltérést. Edward Lorenz egy 1963-as cikkében felismerte a nemlineáris rendszerekben lehetséges nagy érzékenységet a kezdeti feltételek kis eltéréseire. Egyik előadásának a címe alapján sokszor a pillangóhatásként idézik a jelenséget: Predictability: Does the flap of a butterfly's wings in Brazil set off a tornado in Texas? („Megjósolhatóság: Vajon egy pillangó szárnycsapása Brazíliában okozhat-e tornádót Texasban?”). Kis eltérés a kezdeti feltételekben modellezhetetlen nagy változást okoz a rendszer állapotában, viselkedésük asziptotikusan kaotikus is lehet, ezért a viselkedésük hosszú távú előrejelzése lehetetlen, ami a rendszerek alaptulajdonsága.

 

A káosz szót Tien Yien Li és James A. Yorke vezették be Period three implies chaos (Hármas periódus káoszt eredményez) című 1975-ös cikkükben...  „A Japán Tudományos és Műszaki Alapítvány közleménye szerint Yorke a kaotikus rendszerek kutatásában kifejtett munkásságáért, míg Mandelbrot a fraktálok tanulmányozásért kapta a díjat. Noha a Japán Díj a köztudatban kevésbé ismert, mint a média fokozott figyelme mellett kihirdetett és átnyújtott Nobel-díj és Fields-érem, a 412 000 dollár pénzjutalommal járó díj elismertsége a tudományos körökben alig marad el az utóbbiakétól.”  

Létezik a fizikának egy kvantumkáosz-elméletnek nevezett területe, a káoszelmélet egy másik fejezete, amely a kvantummechanika törvényeit követő nemdeterminisztikus rendszerekkel foglalkozik (https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1oszelm%C3%A9let) és egy további fejezet, amikor a rendszerek viselkedése megjósolhatatlan, és a rendszerek kizárólag statisztikai, valószínűségelméleti módszerekkel írhatóak le.

 

Teljesen kaotikus viselkedésű rendszerek, bolyongási problémák

 A matematikában a Wiener-folyamat, ami bolyongási problémákkal, a Brown-mozgással, és az azonos nevű fizikai folyamattal történelmi van kapcsolatban, továbbá kapcsolatos a fehér zaj folyamatokkal. Egy, Norbert Wiener által felfedezett valós értékű, folytonos vagy diszkrét idejű sztochasztikus folyamat.  Gyakran előfordul alkalmazott matematikában is, a közgazdaságtanban, a kvantitatív pénzügyekben, az evolúciós biológiában és a fizikában. A Wiener-folyamat   tulajdonságai:

 

1.  
2. ${\displaystyle W}$ _t független növekményű folyamat, azaz minden  ${\displaystyle t>0,}$ a növekmény  ${\displaystyle u\ge 0,}$ független a multbeli értékektől.
3. Egy folyamat független növekményű, ha  0 ≤ s₁ < t₁ ≤ s₂ < t₂ akkor W_t1 − W_s1 és W_t2 − W_s2 független valószínűségi változók.
4. ${\displaystyle W}$ növekményei normális eloszlásúak, ${\displaystyle W_{t+u}-W_t}$  zérus várható értékű, u szórású  normális eloszlású: ${\displaystyle W_{t+u}-W_t\sim \mathcal{N}(0,u).}$
5. ${\displaystyle W}$ folytonos esetben:  majdnem biztosan folytonos  t-ben. 

 

 

 

Bolyongás két dienzióban (https://hu.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9letlen_bolyong%C3%A1s)

 

A véletlen bolyongás egy sztochasztikus folyamat, amely gyakran az egész számokon véletlenszerű lépésekből áll, amely 0-nál kezdődik, és pl. minden lépésnél egyenlő valószínűséggel +1 vagy −1 lépést tesz. További példa egy molekula nyomvonala, miközben folyadékban vagy gázban halad (lásd a Brown-mozgást), a táplálékot kereső állat keresési útvonala, az ingadozó készletek árai, és egy szerencsejátékos pénzügyi helyzete. Sok folyamatot lehet modellezni véletlenszerű bolyongási modellek segítségével, még akkor is, ha a ezek a jelenségek valóságban nem feltétlenül véletlenszerűek. Ha adott az origóban lévő részecske a t = 0 időben, a központi határérték tétel azt mondja, hogy a véletlen séta nagyszámú független lépése után a sétáló pozíciója  tε/δt távol lesz, ahol t az eltelt idő, ε a lépésnagyság, és δt két egymást követő lépések között eltelt idő.

 

A fizikában a Brown-mozgás a gázokban és folyadékokban lebegő (szuszpendált) részecskék szüntelenül zajló, véletlenszerű hőmozgása, amelyet Robert Brown angol botanikus fedezett fel vízben elkevert virágporszemcséket vizsgálva. A mozgás az anyag atomos szerkezetének fontos bizonyítéka volt. A káoszelméletben szereplő globális keveredés egyik jó példája, amely szerint tipikus kezdőfeltételekkel indítva kellően hosszú idő alatt a rendszer az összes lehetséges állapothoz közel kerül. A szuszpendált részecskék mozgásuk során állandó ütközéseket szenvednek el, viselkedésüket a Maxwell-féle sebességeloszlási függvény írja le. A Brown-mozgás trajektóriái általánosságban véletlenszerű, folyamatos és rendszertelen pályavonalak. A Brown mozgás nem  korrelálatlan, mert a részecske adott időpillanatbeli helye függ attól, hogy az előző pillanatban hol volt. A Brown-mozgás egy Markov folyamat, ami azt jelenti, hogy a részecske adott helyzete csak az előző pillanatbeli helyzetétől függ véletlenszerűen, és az azt megelőző helyzetektől független. A Brown-mozgás jellegzetessége, hogy a szórásnégyzete az időben arányosan növekszik, tehát a folyamat nem stacionárius, a kezdeti helyétől az idő vagy a lépésszám négyzetgyökével arányosan távolodik. 

 

Fehér zajnak nevezzük azt a zajt, melynek teljesítménysűrűsége független a frekvenciától, azaz a spektrálsűrűsége állandó a teljes frekvenciatartományban. Az egymást követő zajértékek korrelálatlanok (https://hu.wikipedia.org/wiki/Feh%C3%A9rzaj). A valóságban nem létezik végtelen  sávszélességű fehérzaj, mert végtelen lenne a teljesítménye, ezért sávkorlátozott fehérzajokat tekintünk a gyakorlatban. Numerikus szimulációk esetén a mintavételezésnél a felső határfrekvencia a mintavételi frekvencia fele. Bár a fehérzaj folyamat korrelálatlan, elenyésző az esélye, hogy hosszabb egybefüggő,

intervallumokat kapjunk, de valahol 1 valószínűséggel előfordulhatnak a folyamatban.

 

Korrelálatlanság, függetlenség, feltételes függetlenség, Markov folyamatok, az örökifjú tulajdonság

A korreláció méri két tetszőleges érték közötti lineáris kapcsolat erősségét. A korrelálatlanság nem feltétlenül jelent függetlenséget, de bizonyos, hogy nincs az értékek között lineáris összefüggés. Ha két véletlen mennyiség korrelációja nulla, akkor korrelálatlanok, és a kapcsolatot feltételes valószínűségekkel írjuk le. A normális eloszlású valószínűségi változókra jellemző, hogy ha korrelálatlanok, akkor függetlenek is. Így a korreláció jól alkalmazható normális eloszlásúnak tekinthető mérhető mennyiségek közötti kapcsolat erősségének mérésére. A zérus várható értékű fehérzaj, azaz egyenletes eloszlású korrelálatlan valószínűségi változói pedig feltételesen függetlenek. A feltételes függetlenség az események, halmazrendszerek, valószínűségi változók függetlenségének általánosítása a feltételes valószínűség és feltételes várható érték segítségével, és a feltételes várható értéket a valószínűségszámításban a feltételes valószínűség definiálására használják (https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation).

A feltételes várható érték lehet valószínűségi változó vagy függvény, amelyet feltételes valószínűségi eloszlással számítanak, vagy például a folyamat múltjára történő vetítéssel a realizációelméletben. Ha a valószínűségi változó csak véges számú értéket vehet fel, akkor a "feltétel" az, hogy a változó ezeknek az értékeknek csak egy részhalmazát veheti fel. Formálisan, abban az esetben, ha a valószínűségi változó egy diszkrét valószínűségi téren van definiálva, a "feltételek" ennek a valószínűségi térnek a partíciói.

Függetlenség: az elemi események halmaza páronként független, ha két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségeinek szorzata, vagy egy másik meghatározás szerint: egy esemény feltételes valószínűsége az esemény valószínűségével egyenlő. A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak. A sorozatokban az elemi események ismétlődnek, ekkor a függetlenség definíciója: ha egy esemény (vagy elemek) bekövetkezése csak a legutolsó eseménytől, elemtől függ, és az előzőektől független, akkor sorozat Markov folyamat.

Amennyiben az új elem az utolsó elemtől -és megelőző elemektől is- független, akkor sorozatot örökifjú sorozatnak  nevezzük. Bizonyított, hogy az örökifjú (memorylessness_ang) sorozat diszkrét esetben geometriai eloszlású, ami az egyenletes eloszlású diszkrét fehér zaj számjegysorozatainak az eloszlása, folytonos esetben pedig exponenciális eloszlású (https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g). 

 

A teljesen kaotikus rendszerek esetén a rendszerleírásra alkalmas eloszlások a normális, az egyenletes, a geometriai és az exponenciális eloszlások. A normális és az egyenletes eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet független, illetve az egyenletesnél csak feltételesen független mennyiségek, ha zérus a várható érték, míg a geometriai és az exponenciális eloszlások örökifjú eloszlások, azaz a folyamat jövője független a folyamat jelenétől és a múltjától, míg a Markov folyamatoknál csak a jelenétől függ a folyamat jövője. 

 

A  Markov-folyamat kifejezés egy sztochasztikus folyamat emlékezet nélküli tulajdonságára utal, ami azt jelenti, hogy jövőbeli fejlődése független a történetétől, csak a jelenétől függ. Nevét Andrej Markov orosz matematikusról kapta. Az erős Markov-tulajdonságnál a „jelen” jelentését egy leállási időként ismert valószínűségi változóval határozzuk meg. A Markov féle véletlen mező kiterjeszti a tulajdonságot két vagy több dimenzióra.

 

Az exponenciális eloszlás sokszor használható véletlen időtartamok modellezésére:

- az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága jól modellezi a várakozási időket,
- egy egy ember kiszolgálása egy boltban, (sorbaállás-elmélet), 

- egy üzletben két ügyfél érkezése közötti idő,
- egy számítás elvégzése egy számítógépen,

- forgalmi helyzeteket leíró elmélet,
- egy ember reakcióideje,
- két esemény bekövetkezése között eltelt idő pl. izzólámpák esetén (megbízhatóságelmélet),
- járványterjedés modellezése, egy fertőzés terjedése, de a gyógyulási időt is,
- radioaktív részecskék bomlási ideje.

 

A geometriai eloszlás felhasználható (https://hu.wikipedia.org/wiki/Geometriai_eloszl%C3%A1s):

- egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél,

- forgalmi helyzeteket leíró elmélet,

- készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása,

- várakozási idő meghatározására az első meghibásodásig
- gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között;

- alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata,

- biztosítási matematika,

- adatátvitel hibaarányának meghatározása,

- a geometriai eloszlás a független Bernoulli-kísérletek eloszlása. A geometriai eloszlás általánosítása a binomiális eloszlás több sikeres kísérletre, amit két módon fogalmaznak meg: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.

A geometrai eloszlás az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás.

 

 

Egy dimenziós eset-ben diszkrét örökifjú sorozatokat fogunk vizsgálni, ezek geometriai eloszlásúak. Az örökifjú tulajdonság egyik következménye: ha valamely sorozat eseményeinek, elemei egyenletes eloszlásúak, valószínűségei egyenlőek, 1/b értékűek, ha az elemi események száma b, ami jelölje a számrendszer alapszámát is, akkor a független elemi események valamely tetszőleges k hosszú (k=1,2,3,...,k_max) független sorozatának valószínűsége (b-1)/b^k , és geometriai eloszlású. Az eloszlás paramétere (b-1)/b, egyben az egységnyi hosszú sorozatok, a sziglik valószínűsége. Az eloszlás várható értéke b/(b-1),  a valószínűségek összege pedig    1 – b-kmax . A várható érték létezésének feltétele, hogy  kmax  megszámlálhatóan végtelen legyen.

 

Megj.: Nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a Haar mérték (https://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure) bináris esetben véges, azaz normálható mérték. Bár a Haar mérték kiszámítása bonyolult, de lényeges állítás, hogy bináris nem megszámlálható esetben is létezik normálható mérték (mert nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a számtani közép és a gyakoriságok általában divergálnak).

 

Például valakinek a születési dátuma egy véletlen szám, nnhhéé szerkezetben lekérdezhető az  https://www.piday.org/find-birthday-in-pi/ oldalon. Egy 
2011 január 11.-én született diák születési dátuma a '11·11·11' , és sorozatként a pí szám 51150 számjegyénél kezdődik,  a valószínűsége 9 x10^-6. 

 

Másik példa: ha adott valamilyen előre rögzített szöveg, és egy majom korlátlan ideig véletlenszerűen ütögeti egy írógép billentyűit, akkor kis valószínűséggel, de majdnem biztos, hogy előbb-utóbb ezt az adott szöveget is leírja. Az állítás matematikai bizonyítása lehetséges. Cicero így érvelt a De natura deorum-ban:

„Aki ebben hisz, az azt is elhiheti, hogy egy zsáknyit a huszonegy betűből földre szórva az Annales lesz olvasható. Kételkedem abban, hogy akár csak egy rövid szakasza is megjelenne.” (https://hu.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9gtelen_sok_majom_%C3%A9s_%C3%ADr%C3%B3g%C3%A9p_t%C3%A9tele). Cicero jól érezte, hogy az értelmes szöveg megjelenésének csak kis valószínűsége van, és lehetséges megjelenés a szöveg hosszával fordítva arányos. Tegyük fel, hogy a kérdéses Annales (törtménelemkönyv) 100 oldal hosszú, oldalankét 100 betűvel, jellel (ami nekünk kevés, de egy majomnak sok). A könyv  összesen 10000 betűt vagy jelet tartalmaz. A majom számára közömbös, hogy mit írt le előzőleg, ezért az örökifjú tulajdonság, az eloszlás geometriai. Az irógép betűinek és jeleinek száma legyen összesen 30. Minden 10000 hosszú mintázat valószínűsége egyenlő, az örökifjú tulajdonságnak megfelelően, azaz 29 x 30^-10000, de hogy hol jeleneik meg a sorozatban, arról semmit nem tudunk állítani, feltehetően sokára, és egy valószínűséggel, majdnem biztosan (az egy valószínűségű esemény nem biztos esemény, csak "majdnem biztos"). 

 

Kétdimenziós eset-ben a véletlenszámok ábrázolása b függvényében, több dimenziós általánosítás is lehetséges. A képek generálása véletlen számok sorokba tördelésével, ábrázolásával történik, vagy minden képponthoz, pixelhez véletlen színgenerátorral rendelnek egy szint. Jó minőségű véletlenszámok ábrázolásai megkülönböztethetetlenül hasonlítanak egymásra. Két különböző véletlenszám ábrázolását a koordinátákon nem sikerült találni. b =2 esetben:

 

 

 

                                                                        (https://www.dreamstime.com/illustration/abstract-noice.html)

 

 

Vegyük észre, hogy a mintázat két dimenzióban fehér-fekete foltos, helyenként hálós-vonalas, nyilvánvalóan szabálytalan mintázatokat mutat nagyobb b értékekre is. A pixelszám növelésével kis valószínűséggel nagyobb fekete- fehér foltok jelennének meg, annak megfelelően, hogy csökkenő valószínűséggel hosszabb sorozatok is előfordulnak egydimenziós esetben. Aszimptotikusan elfeketedhet-kifehéredhet egy azonos pixelszámú minta-kép. 

 

Ha b=3 (fehér, fekete, szürke)

 

(https://www.dreamstime.com/illustration/abstract-noice.html)

 

 

b= 4 (zöld sárga kék piros) 

 

 

 

 

 

(https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Every_pixel_has_a_random_color.png)

 

b = 5 (fehér zöld sárga kék piros) 

:

 

(https://graphicdesign.stackexchange.com/questions/26174/how-can-i-create-a-random-pixelated-pattern, és https://graphicdesign.stackexchange.com/questions/26174/how-can-i-create-a-random-pixelated-pattern)

 

 

Gráfok esetén (https://ematlap.hu/tudomany-tortenet-2020-11/957-mi-is-az-a-perkolacio): a perkoláció (szó szerint szivárgás) minden véges vagy végtelen gráfon értelmezhető, és két alapváltozata van: élperkolációban a gráf éleit egymástól függetlenül ugyanakkora  p valószínűséggel nyíltnak, illetve 1-p -vel zártnak sorsoljuk ki; csúcsperkolációban a csúcsokat sorsoljuk nyíltnak vagy zártnak. A két változatban az alapjelenségek ugyanazok. A zárt élekre úgy gondolunk, mint amiket töröltünk, s kérdés az, hogy a megmaradó nyílt éleken keresztül honnan hová lehet eljutni, azaz melyek a megmaradt véletlen gráf összefüggőségi komponensei. Folyadékok és gázok szivárgási modelljeinél hasznos vizsgálat. 

                 A nyílt éleken keresztül honnan hová lehet eljutni négyzetrács és p=0.25, 0.5, 0.75 értékek esetén? A leghosszabb út pirossal kiemelve

                                                                (https://ematlap.hu/tudomany-tortenet-2020-11/957-mi-is-az-a-perkolacio)