Derivation of independent sequences
Independence: a set of elementary events is pairwise independent if the probability of two events occurring together is the product of the probabilities of the two events. Another common definition is that the conditional probability of an event is the probability of the event. Events that do not occur together form a series. (The definitions of conditional and joint probabilities lead to the introduction of the concept of time.) In the case of infinite series of repeated elementary events, the independence: if the new element depends only on the last element, the series is a Markov process.
If the new element is independent of the last element -and also of the previous elements-, then a series is called a memoryless series (http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/GeometricF.pdf). It is proved the memoryless series has a geometric distribution in the discrete case and an exponential distribution in the continuous case. Someone should do a theory of stochastic processes (Ω,σ,P, t), perhaps with Bayesian time dependence.
If the number of elementary events is b, which can be the base number of a number system, and they are equal and have probability 1/b, then the probability of a series of independent elementary events of arbitrary order, i.e. a pattern, is k max:
(b-1)/b 1/b kmax-1 .
The existence of the expected value is conditional on k max being countably infinite, in which case the sum of the probabilities is 1 - b -kmax = 1 and the expected value has the value of b/(b-1)*.
In the non-countable case, there are interesting special artificial sequences, also irrational numbers: e.g. the Champernowne number, https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html, or prime numbers (which is the Erdős-Copeland number), when the sum of the probabilities is divergent, the expected value cannot be estimated.
For uncountable infinite sequences: the Haar measure (https://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure) can be normed only in the binary case, so let b = 2. The calculation of the Haar measure can be complicated, but the essential claim is that there exists a normalizable measure in the binary case when the same time the probabilities (the Kolgomorov measure) and the arithmetic mean and frequencies diverge.
Let the indicator variable e.g. for pairs be 1 and for unpairs 0 at the Champernowne number, https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html,: when one obtains an uncountably infinite indicator series 01010101.... Because of the repetitive stages, the arithmetic mean for the estimation of the expected value can be computed in a direct way and it is not necessary to compute the arithmetic mean for the estimation of the mean. In general: if a rational fractional indicator series can be assigned to a property, an estimated measure -based on a rational fractional indicator measure- can be assigned to the uncountable infinite (binary) set if the property is either true or false for all elements of the set. The estimated measure is thought to be an estimate of the Haar measure.
Another problem is: in binary sequences let the zero-one transitions are denoted by 1's, the one-zero transitions are denoted by 0's, the indicator series is then 1,0,1,0,1, .
*Comment: When the expected value has the value of b/(b-1) than the frequency of singles of (b-1)/b. Reading homogeneous sequences, the frequency of singles is not (b-1)/b, but (b-1)2/b2 because of the reading mode.
//(In Hungarian) Független sorozatok származtatása
Függetlenség: az elemi események halmaza páronként független, ha két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségeinek szorzata. Ismert másik meghatározás szerint egy esemény feltételes valószínűsége az esemény valószínűségével egyenlő. A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak. Végtelen sorozatok esetén az elemi események ismétlődnek, ekkor a függetlenség: ha az új elem (vagy elemek) csak a legutolsó elemtől függ és az előző elemektől független, akkor sorozat Markov folyamat. Amennyiben az új elem az utolsó elemtől -és megelőző elemektől is- független, akkor sorozatot örökifjú sorozatnak (https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g) nevezzük. Bizonyított, hogy az utóbbi esetben a sorozat diszkrét esetben geometriai eloszlású, folytonos esetben pedig exponenciális eloszlású.
Ha az elemi események száma b - ami sorozatok esetén lehet egy számrendszer alapszáma-, továbbá egyenlő, 1/b valószínűségűek, akkor a független elemi események valamely tetszőleges sorrendű, azaz mintázatú kmax hosszú független sorozatának valószínűsége:
(b-1)/b 1/bkmax - 1
és a sorozat hosszának várható értéke b/(b-1), a (b-1)/b paraméter reciproka. A várható értékek létezéseinek feltétele, hogy kmax megszámlálhatóan végtelen legyen, a valószínűségek összege ekkor 1 – b-kmax = 1. Nem megszámlálható esetben a várható értékek nem léteznek, de speciális mesterséges sorozatokat, egyben bizonyítottan irracionális számokat kaphatunk: pl. a természetes számokat egymás után írva a Champernowne számot, https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html, vagy a prímszámokat (ami az Erdős-Copeland féle szám), amikor a valószínűségek divergálnak, a várható érték nem becsülhető.
Nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a Haar mérték (https://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure) bináris esetben véges, azaz normálható mérték, tehát legyen b = 2. A Haar mérték kiszámítása bonyolult, de lényeges állítás, hogy bináris esetben létezik normálható mérték, és az a Haar mérték, amikor a valószínűség és a számtani közép és a gyakoriságok divergálnak.
Legyen a páros számjegyek indikátor változója 1, a páratlanoké 0 a Champernowne szám esetén, https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html,: ekkor egy nem megszámlálhatóan végtelen 010101....indikátorváltozó sorozatot kapunk. Az ismétlődő szakaszok miatt a várható értékek, valószínűségek becsléshez nem szükséges a számtani középek számítása. Általánosan: amennyiben egy tulajdonsághoz racionális tört - azaz ismétlődő véges hosszúságú szakaszos- indikátor sorozatot sikerül rendelnünk, akkor a nem megszámlálhatóan végtelen (bináris) halmazhoz egy racionális indikátormérték rendelhető, ha a tulajdonság a halmaz minden elemére vagy igaz vagy nem igaz, a becsült mértéket a tulajdonság Haar mértékének gondoljuk. Egy másik probléma: a nulla-egy átmeneteket jelöljük 1-esekkel, az egy-nulla átmeneteket pedig jelöljük 0-val, az indikátor sorozat ekkor is 1,0,1,0,1, ...
*Érdekesség, hogy homogén sorozatok kiolvasása esetén a szinglik gyakorisága nem (b-1)/b, hanem (b-1)2/b2 a kiolvasás módja miatt, bináris esetben 1/4.
