A számtani és mértani középértékek ábrázolása
(2025 augusztus)
Két szám, a és b középértékei: H a harmonikus közép püspök-lilával, Q a négyzetes közép zölddel, G a mértani közép kékkel, A a számtani közép, vörössel
Mivel az átfogó mindig hosszabb, mint a derékszögű háromszög befogója, a diagram mutatja a Q > A > G > H egyenlőtlenséget is.
(https://sv.wikipedia.org/wiki/Fil:Mean-values.svg, https://hu.wikipedia.org/wiki/Harmonikus_k%C3%B6z%C3%A9p)
Várható érték, definíció (A): a várható érték becslése a számtani közép, azaz a tényezők összege osztva a tényezők számával. A valószínűségszámításban a véletlen jelenségek átlagos eredményét írja le, és a tényezők valószínűségeivel súlyozott átlag. A számtani közép a két adatsor közül nagyobb súlyt juttat a kisebbnek; a harmonikus közép viszont minden adatot ugyanolyan súllyal tekint.
Harmonikus középérték, definíció (H): Véges sok pozitív szám harmonikus közepe a tényezők reciprokaiból számított számtani közép reciproka. Több szám harmonikus közepe a kisebb számokat jobban figyelembe veszi; a nagy számok hatása csökken, a kis számoké nő. Az elnevezés a harmonikus sorból származik (az egész számok reciprokai: a másodiktól kezdve minden tag a két szomszédjának harmonikus közepe). Pl.: A harmonikus közepértéket a fizikában többek között átlagsebesség kiszámítására használhatjuk, ha az adott sebességekkel ugyanannyi utakat tettünk meg. Ingadozó méretű populációk esetén a populáció effektív méretének reciproka: a populáció nagyságok harmonikus közepével adható meg, amennyiben a generációk nem-átfedőek. A harmonikus közepet pénzügyben az arányok átlagolásához használják.
Mértani közép, definíció (G): a két tényező szorzatából vont négyzetgyök. G2 = A x H, azaz a mértani közép négyzete = a számtani közép X a harmonikus közép. Több tényező mértani tözepe: a tényezők szorzatából vont annyiadik gyök, ahány tényező van.
A négyzetes várható érték:(Q) becslése a tényezők négyzetösszege osztva a tényezők számával. Különösen hasznos, ha a mennyiség értékei pozitívak és negatívak is lehetnek, például hullámok esetén (https://hu.wikipedia.org/wiki/N%C3%A9gyzetes_k%C3%B6z%C3%A9p). A négyzetes közép geometriai jelentése: oldalméreteikkel adott négyzetekből az átlagos területű négyzet oldalának kiszámítása. A négyzetgyökvonás miatt második abszolút momentumnak nevezik. A harmadik hatványközepet harmadik abszolút momentumnak, és így tovább.
Medián definíció: egy rendezett adatsorban a középső elem, amelynél az adatok 50%-a kisebb, 50%-a pedig nagyobb értékű. Míg a várható érték (számtani közép, vagy a valószínűségekkel súlyozott átlag) a tényezők átlagértéke és a középső elem között a fő különbség a kilógó értékekkel szembeni érzékenység. A medián kevésbé érzékeny a torzító, vagy kilógó adatokra, ezért a medián alkalmasabb nem normális eloszlások (https://hu.wikipedia.org/wiki/Harmonikus_k%C3%B6z%C3%A9p), pl. jövedelmi adatok jellemzésére.
A kvantilisek a statisztikában a középértékek melletti fontos eloszlás-mutatók. Legyen 0 < q < 1. Ha a rangsorba rendezett sokaságot egy X ismérvérték q : (1 - q) arányban osztja ketté, akkor ezt az ismérvértéket q-ad rendű vagy q-adik kvantilisnek nevezzük. A gyakran előforduló kvantilisek elnevezései:
Tercilisek (a sokaságot három részre osztják)
Kvartilisek (a sokaságot négy részre osztják)
Kvintilisek (a sokaságot öt részre osztják)
Decilisek (a sokaságot tíz részre osztják)
Percentilisek (a sokaságot száz részre osztják).
Kvartilisek (a sokaságot négy részre osztják)
Kvintilisek (a sokaságot öt részre osztják)
Decilisek (a sokaságot tíz részre osztják)
Percentilisek (a sokaságot száz részre osztják).