A káoszelmélet új fejezete

 

 

 

 

Káoszelmélet: 

 

Megjósolhatatlan viselkedésű rendszerek

 

 

 

(2025 április)

 

 

 

ABSTRACT

 A labilis rendszerek csak részben determinisztikus rendszerek, véges idő elteltével viselkedésük kaotikussá, megjósolhatatlanná válik, független lesz a kezdeti állapotuktól. A kaotikussá váló viselkedés a tekintett rendszerek belső (immanens) tulajdonsága, és csak valószínűségi, sztochasztikus eszközökkel írható le. Léteznek valódi kaotikus rendszerek is, pl. várakozási időkkel, véletlen bolyongási problémákkal, véletlen számokkal, véletlen gráfokkal kapcsolatban. A nem megjósolható rendszerek leírása a függetlenség és az örökifjúság fogalmakkal történik. A geometriai, az exponenciális és a Poisson eloszlások örökifjú eloszlások, ekkor a folyamat jövője független a jelenétől és a folyamat múltjától, a Markov-folyamatok esetében a jövő csak a folyamat jelenétől függ. 

A valódi kaotikus rendszerek esetén a leíró eloszlások a normál, egyenletes, geometriai, Poisson és exponenciális eloszlások. A normál eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet függetlenek, az egyenletes eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet pedig feltételesen független mennyiségek, amikor a várható érték zérus. A memória nélküli tulajdonság megkülönbözteti az exponenciális és geometriai eloszlásokat a más eloszlásokkal leírható rendszerektől. / New chapter in chaos theory: Unpredictable systems, Chaotic systems are only partially deterministic because after a finite time their behaviour becomes chaotic and independent of their initial state. Chaotic behaviour is an intrinsic (immanent) property of these systems that can only be described by probabilistic, stochastic means. There exist real chaotic systems, e.g. with waiting times, in random walk problems with random directional steps, random numbers, random graphs. The description of the chaotic system is done using the concepts of independence and memorylessness. For real chaotic systems, the descriptive distributions are the normal, uniform, geometric and exponential distributions. For the normal distribution, the expected value and the variance square are independent, and for the uniform distribution the expected value and the variance square are conditionally independent quantities when the expected value is zero. Geometric and exponential distributions are memoryless distributions, i.e. the future of the process is independent of the present and the past of the process, for Markov processes the future depends on the present. The memorylessness property distinguishes exponential and geometric distributions from systems that can be described by further distributions or with deterministic methods.

 

 

 

 

 

 

A káoszelmélet (https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1oszelm%C3%A9let) olyan nemlineáris determinisztikus időfüggő labilis rendszerekkel foglalkozik, amelyek viselkedése csak részben jelezhető előre, a determinisztikus törvényszerűségek ellenére. A tekintett labilis rendszerek érzékenyek a kezdőfeltételekre, amit pillangóhatásnak is neveznek.

Az egyszerű, néhány állapotjelzővel leírható determinisztikus rendszerek is mutathatnak megjósolhatatlan viselkedést. A káoszelméletben tekintett labilis determinisztikus rendszerek részben statisztikus, sztochasztikus (http://tetelwiki.mafihe.hu/index.php/Dinamikai_rendszerek,_kaotikus_viselked%C3%A9s)

módszerekkel írhatóak le, és nem azért mert gyakran bonyolultak, hanem mert a kaotikus viselkedés a rendszerek sajátos (immanens) tulajdonsága, véges idő után a viselkedésük függetlenné válik a kezdeti állapotoktól. A valódi determinisztikus rendszerek esetén az aszimptotikus viselkedés t = végtelenben is egyértelműen határozott, azaz csak a részben determinisztikus rendszerek viselkedhetnek kaotikusan. 

Például a kettős inga mozgása egy idő után független a kezdeti állapotától, nem tér vissza a kezdeti állapotába, struktúrálisan labilis szerkezet:

 

 

                                                                            (https://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html)

 

A kettős inga két, egymáshoz csatolt ingából álló egyszerű fizikai rendszer, melynek kaotikus mozgását kezdetben determinisztikus differenciálegyenletek határozzák meg, mégis a mozgása egy idő után véletlenszerű, kaotikus.Több változata van, a két inga hossza és tömege is lehet megegyező, vagy különböző. A mozgás leírása lehet 3 dimenziós és 2 dimenziós is (https://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html).

 

 

 

                                                                                                                                                              

                                                                                      (https://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html)

 

 

A kaotikus viselkedést mutató rendszerek csak részben determinisztikus rendszerek, ellentétben a káosz szó jelentésével, ami teljes rendezetlenséget (függetlenséget, megjósolhatatlanságot, memórianélküliséget) jelent. Véges idő után instabilitás, lokális rendezetlenség, véletlen viselkedés jellemzi a tekintett rendszereket. A viselkedés akkor labilis, ha két, egymáshoz közeli kezdőhelyzetből indítva a rendszerállapotok különbségei véges időben modellezhetetlenül, kiszámíthatatlanul nőnek. Edward Lorenz amerikai meteorológus 1961-ban egy, ma már igen lassúnak tekintett számítógéppel (Royal-McBee LGP-30) vizsgálta a három szabadságfokú nemlineáris konvekciómodelljét. Egy alkalommal szeretett volna egy adatsort újra számítani, és hogy időt spóroljon meg, egy korábbi szimuláció kimenetét táplálta vissza a számítógépbe. Az új eredmény gyorsan eltért a legutóbbi eredményektől. A gép hibájára gyanakodott, de mint azt kiderítette, nem a számítógépben volt a hiba. A  számítógép az adatokat 6 tizedesjegy pontosan ábrázolta, Lorenz csak 3 jegy pontossággal írta vissza a gépbe. Ez a kis pontatlanság okozta a nagy eltérést. Edward Lorenz egy 1963-as cikkében felismerte a nemlineáris rendszerekben lehetséges nagy érzékenységet a kezdeti feltételek kis eltéréseire. Egyik előadásának a címe alapján sokszor a pillangóhatásként idézik a jelenséget: Predictability: Does the flap of a butterfly's wings in Brazil set off a tornado in Texas? („Megjósolhatóság: Vajon egy pillangó szárnycsapása Brazíliában okozhat-e tornádót Texasban?”). Kis eltérés a kezdeti feltételekben modellezhetetlen nagy változást okoz egy labilis -bizonytalan egyensúlyi állapotú- rendszer állapotában, ezért a viselkedésük hosszú távú előrejelzése lehetetlen, ami a labilis rendszerek alaptulajdonsága. 

 

A káosz szót Tien Yien Li és James A. Yorke vezették be Period three implies chaos (Hármas periódus káoszt eredményez) című 1975-ös cikkükben...  „A Japán Tudományos és Műszaki Alapítvány közleménye szerint Yorke a kaotikus rendszerek kutatásában kifejtett munkásságáért, míg Mandelbrot a fraktálok tanulmányozásért kapta a díjat. Noha a Japán Díj a köztudatban kevésbé ismert, mint a média fokozott figyelme mellett kihirdetett és átnyújtott Nobel-díj és Fields-érem, a 412 000 dollár pénzjutalommal járó díj elismertsége a tudományos körökben alig marad el az utóbbiakétól.”  

Létezik a fizikának egy kvantumkáosz-elméletnek nevezett területe, a káoszelmélet egy másik fejezete, amely a kvantummechanika törvényeit követő nemdeterminisztikus rendszerekkel foglalkozik (https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1oszelm%C3%A9let) és egy további fejezet, amikor a rendszerek viselkedése megjósolhatatlan, és a rendszerek kizárólag statisztikai, valószínűségelméleti módszerekkel írhatóak le.

 

KAOTIKUS, MEGJÓSOLHATATLAN RENDSZEREK

A kaotikus folyamatok független események, nüvekmények sorozatai, elsősorban diszkrét idejű sztochasztikus folyamatok. A megjósolhatatlan viselkedésű rendszerek, folyamatok általában független növekményű, normális eloszlású folyamatokkal írhatóak le, a Wiener féle folyamattal, fehézzaj folyamatokkal, és  Poisson folyamatokkal. A valószínűségeloszlások között sok független kísérletekből származó valószínűségi változójú ismert. A megjósolhatatlan (= kaotikus) rendszereknél a múlt és a jelen alapján számítható feltételes várható értékük zérus, esetleg konstans. A folyamatok leírására az örökifjú tulajdonsággal rendelkező eloszlások használhatóak, tehát a geometriai, az exponenciális ás a Poisson eloszlások.

 

A matematikában a Wiener-folyamat, ami bolyongási problémákkal (https://hu.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9letlen_bolyong%C3%A1s), a Brown-mozgással, és az azonos nevű fizikai folyamattal történelmi van kapcsolatban. A folyamat egy Norbert Wiener által felfedezett valós értékű, folytonos vagy diszkrét idejű független növekményű sztochasztikus folyamat, ahol a növekmények zérus várható értékű normális eloszlásúak, és amelynek a derivált folyamata a fehérzaj folyamat. Gyakran előfordul alkalmazott matematikában, a közgazdaságtanban, a kvantitatív pénzügyekben, az evolúciós biológiában és a fizikában. A Wiener-folyamat   tulajdonságai:

 

1.  
2. ${\displaystyle W}$_t független növekményű folyamat, azaz minden  ${\displaystyle t>0,}$ a növekmény  ${\displaystyle u\ge 0,}$ független a múltbeli értékektől, egy folyamat függetlennövekményű, ha  0 ≤ s₁ < t₁ ≤ s₂ < t₂ akkor W_t1 − W_s1 és W_t2 − W_s2 független valószínűségi változók.
3. ${\displaystyle W}$_t növekményei normális eloszlásúak, ${\displaystyle W_{t+u}-W_t}$  zérus várható értékű, u szórású  normális eloszlású: ${\displaystyle W_{t+u}-W_t\sim \mathcal{N}(0,u).}$
4. ${\displaystyle W}$_t folytonos esetben:  majdnem biztosan folytonos  t -ben. 
5. 
6.                                                                                           (https://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process)

 

 

 

Bolyongás két dienzióban (https://hu.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9letlen_bolyong%C3%A1s)

 

A véletlen bolyongás egy sztochasztikus folyamat, amely gyakran az egész számokon véletlenszerű lépésekből áll, amely 0-nál kezdődik, és pl. minden lépésnél egyenlő valószínűséggel +1 vagy −1 lépést tesz. További példa egy molekula nyomvonala, miközben folyadékban vagy gázban halad (lásd a Brown-mozgást), a táplálékot kereső állat keresési útvonala, az ingadozó készletek árai, és egy szerencsejátékos pénzügyi helyzete. Sok folyamatot lehet modellezni véletlenszerű bolyongási modellek segítségével, még akkor is, ha a ezek a jelenségek valóságban nem feltétlenül véletlenszerűek. Ha adott az origóban lévő részecske a t = 0 időben, a központi határérték tétel azt mondja, hogy a véletlen séta nagyszámú független lépése után a sétáló pozíciója  tε/δt távol lesz, ahol t az eltelt idő, ε a lépésnagyság, és δt két egymást követő lépések között eltelt idő, a kezdeti helyétől az idővel vagy a lépésszámmal arányosan távolodik. 

 

A fizikában a Brown-mozgás a gázokban és folyadékokban lebegő (szuszpendált) részecskék szüntelenül zajló, véletlenszerű hőmozgása, amelyet Robert Brown angol botanikus fedezett fel vízben elkevert virágporszemcséket vizsgálva. A mozgás az anyag atomos szerkezetének fontos bizonyítéka volt. A káoszelméletben szereplő globális keveredés egyik jó példája, amely szerint tipikus kezdőfeltételekkel indítva kellően hosszú idő alatt a rendszer az összes lehetséges állapothoz közel kerül. A szuszpendált részecskék mozgásuk során állandó ütközéseket szenvednek el, viselkedésüket a Maxwell-féle sebességeloszlási függvény írja le. A Brown-mozgás trajektóriái általánosságban véletlenszerű, folyamatos és rendszertelen pályavonalak. A Brown mozgás nem  korrelálatlan, mert a részecske adott időpillanatbeli helye függ attól, hogy az előző pillanatban hol volt. A Brown-mozgás egy Markov folyamat, ami azt jelenti, hogy a részecske adott helyzete csak az előző pillanatbeli helyzetétől függ véletlenszerűen, és az azt megelőző helyzetektől független. A Brown-mozgás jellegzetessége, hogy a szórásnégyzete az időben arányosan növekszik, tehát a folyamat nem stacionárius, a kezdeti helyétől az idő vagy a lépésszám négyzetgyökével arányosan távolodik. 

 

Fehér zaj (a Wiener folyamat derivált folyamata, nincs memóriája, matematikai szerepe az érdekes) olyan zaj, melynek teljesítménysűrűsége független a frekvenciától, azaz a spektrálsűrűsége állandó a teljes frekvenciatartományban  (https://hu.wikipedia.org/wiki/Feh%C3%A9rzaj). Bár a fehérzaj folyamat független növekményű, és elenyésző az esélye, hogy hosszú zérus növekményű intervallumokat kapjunk, de valahol 1 valószínűséggel előfordulhatnak egy végtelen folyamatban. A valóságban nem létezik végtelen  sávszélességű fehérzaj, mert végtelen lenne a teljesítménye, a gyakorlatban zérus várható értékű és sávkorlátozott fehérzajokat tételezünk fel, numerikus szimulációk esetén a mintavételezésnél a felső határfrekvencia a mintavételi frekvencia fele. Fizikai jelenségek modellézésénél a Wiener folyamat a fontosabb. 

 

Függetlenség, feltételes függetlenség, Markov folyamatok, és az örökifjú tulajdonság

A korreláció méri két tetszőleges érték közötti lineáris kapcsolat erősségét. A korrelálatlanság nem feltétlenül jelent függetlenséget, de bizonyos, hogy nincs az értékek között lineáris összefüggés. Ha két véletlen mennyiség korrelációja nulla, akkor korrelálatlanok, és a kapcsolatot feltételes valószínűségekkel írjuk le. A normális eloszlású valószínűségi változókra jellemző, hogy ha korrelálatlanok, akkor függetlenek is. Így a korreláció jól alkalmazható normális eloszlásúnak tekinthető mérhető mennyiségek közötti kapcsolat erősségének mérésére. A zérus várható értékű fehérzaj, azaz egyenletes eloszlású korrelálatlan zaj várható értéke és a szórása feltételesen függetlenek. A feltételes függetlenség az események, halmazrendszerek, valószínűségi változók függetlenségének általánosítása a feltételes valószínűség és feltételes várható érték segítségével, és a feltételes várható értéket a valószínűségszámításban a feltételes valószínűség definiálására használják (https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation).

A feltételes várható érték lehet valószínűségi változó vagy függvény, amelyet feltételes valószínűségi eloszlással számítanak, vagy például a folyamat múltjára történő vetítéssel a realizációelméletben. Ha a valószínűségi változó csak véges számú értéket vehet fel, akkor a "feltétel" az, hogy a változó ezeknek az értékeknek csak egy részhalmazát veheti fel. Formálisan, abban az esetben, ha a valószínűségi változó egy diszkrét valószínűségi téren van definiálva, a "feltételek" ennek a valószínűségi térnek a partíciói.

Függetlenség: az elemi események halmaza páronként független, ha két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségeinek szorzata, vagy egy másik meghatározás szerint: egy esemény feltételes valószínűsége az esemény valószínűségével egyenlő. A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak. A sorozatokban az elemi események ismétlődnek, ekkor a függetlenség definíciója: ha egy esemény (vagy elemek) bekövetkezése csak a legutolsó eseménytől, elemtől függ, és az előzőektől független, akkor sorozat Markov folyamat.

Amennyiben az új elem az utolsó elemtől -és megelőző elemektől is- független, akkor sorozatot örökifjú sorozatnak  nevezzük. Bizonyított, hogy az örökifjú (memorylessness_ang, https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g) sorozat diszkrét esetben geometriai eloszlású, ami az egyenletes eloszlású diszkrét fehér zaj számjegysorozatainak az eloszlása, folytonos esetben pedig exponenciális illetve Poisson eloszlású. 

 

A kaotikus, mejósolhatatlan rendszerek esetén a rendszerleírásra alkalmas eloszlások a normális, az egyenletes, a geometriai és az exponenciális, Poisson eloszlások. A normális és az egyenletes eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet független, illetve az egyenletesnél csak feltételesen független mennyiségek, ha zérus a várható érték. A geometriai és az exponenciális, Poisson eloszlások örökifjú eloszlások, azaz a folyamat jövője független a folyamat jelenétől és a múltjától, míg a Markov folyamatoknál csak a jelenétől függ a folyamat jövője. 

 

A  Markov-folyamat kifejezés egy sztochasztikus folyamat emlékezet nélküli tulajdonságára utal, ami azt jelenti, hogy jövőbeli fejlődése független a történetétől, csak a jelenétől függ. Nevét Andrej Markov orosz matematikusról kapta. Az erős Markov-tulajdonságnál a „jelen” jelentését egy leállási időként ismert valószínűségi változóval határozzuk meg. A Markov féle véletlen mező kiterjeszti a tulajdonságot két vagy több dimenzióra.

 

Az exponenciális eloszlás sokszor használható véletlen időtartamok modellezésére:

- az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága jól modellezi a várakozási időket,
- egy egy ember kiszolgálása egy boltban, (sorbaállás-elmélet), 

- egy üzletben két ügyfél érkezése közötti idő,
- egy számítás elvégzése egy számítógépen,

- forgalmi helyzeteket leíró elmélet,
- egy ember reakcióideje,
- két esemény bekövetkezése között eltelt idő pl. izzólámpák esetén (megbízhatóságelmélet),
- járványterjedés modellezése, egy fertőzés terjedése, de a gyógyulási időt is,
- radioaktív részecskék bomlási ideje.

 

A Poisson folyamat (https://hu.wikipedia.org/wiki/Poisson-folyamat) olyan számláló folyamat, amelynél a T1, T2, . . . érkezések közötti időintervallumok exponenciális eloszlású független valószínűségi változók. Az alapfolyamata egy időben folytonos számláló folyamat {N(t), t ≥ 0}, a következő tulajdonságokkal: N(0) = 0, és egymástól független növekmények jellemzik, továbbá stacionárius növekmények (bármely időközben az előfordulások számának eloszlása csak az időközök hosszától függ) és nincsenek szimultán események. A következő esemény  várakozási ideje exponenciális eloszlású. 

Memória-mentesség, az örökifjú tulajdonság jellemzi, azaz az egymás utáni beérkezési események függetlenek, és egy t időbeli eseményt nem befolyásolják a t idő előtti események bármelyike. Alkalmazásai: 

-telefonhívások beérkezése,

- labdarúgó meccseken előforduló gólok,

- webszerverekhez beérkező kérelmek.

- részecske-emisszió radioaktív bomláskor (ami inhomogén Poisson-folyamat),

- a sorbaállás elméletben az ügyfelek-kiszolgálók sorbaállása sokszor Poisson-folyamat.

 

A geometriai eloszlás felhasználható (https://hu.wikipedia.org/wiki/Geometriai_eloszl%C3%A1s):

- egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél,

- forgalmi helyzeteket leíró elmélet,

- készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása,

- várakozási idő meghatározására az első meghibásodásig
- gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között;

- alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata,

- biztosítási matematika,

- adatátvitel hibaarányának meghatározása,

- a geometriai eloszlás a független Bernoulli-kísérletek eloszlása. A geometriai eloszlás általánosítása a binomiális eloszlás több sikeres kísérletre, amit két módon fogalmaznak meg: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.

- a geometrai eloszlás az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás, az utóbbi jól közelíti a Poisson eloszlást is speciális esetben. A független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege, amennyiben mindegyiknek ugyanaz a paramétere, negatív binomiális eloszlású, de a negatív binomiális eloszlás nem örökifjú eloszlás. 

Például a sorbanállás elméletben a vállalkozások logisztikájának elemzése geometriai eloszláshoz vezet. A raktárak sorbanállási elméletet alkalmaznak a csomagok raktárból a vevőhöz történő szállítása során a rendszer egyenletes működésének biztosítására. Ekkor a vizsgált sor olyan dobozokból áll, amelyek arra várnak, hogy az ügyfeleknek kiszállítsák. A sorbanállási elmélet alkalmazásával a vállalkozások hatékonyabb rendszereket, folyamatokat, árképzési mechanizmusokat, személyzeti megoldásokat és érkezéskezelési stratégiákat fejleszthetnek ki az ügyfelek várakozási idejének csökkentése és a kiszolgálható ügyfelek számának növelése érdekében.

 

 

Egy dimenziós eset-ben diszkrét örökifjú sorozatokat fogunk vizsgálni, ezek geometriai eloszlásúak. Az örökifjú tulajdonság egyik következménye: ha valamely sorozat eseményeinek, elemei egyenletes eloszlásúak, valószínűségei egyenlőek, 1/b értékűek, ha az elemi események száma b, ami jelölje a számrendszer alapszámát is, akkor a független elemi események valamely tetszőleges k hosszú (k=1,2,3,...,k_max) független sorozatának valószínűsége (b-1)/b^k , és geometriai eloszlású. Az eloszlás paramétere (b-1)/b, egyben az egységnyi hosszú sorozatok, a sziglik valószínűsége. Az eloszlás várható értéke b/(b-1),  a valószínűségek összege pedig    1 – b-kmax . A várható érték létezésének feltétele, hogy  kmax  megszámlálhatóan végtelen legyen.

 

Megj.: Nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a Haar mérték (https://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure) bináris esetben véges, azaz normálható mérték. Bár a Haar mérték kiszámítása bonyolult, de lényeges állítás, hogy bináris nem megszámlálható esetben is létezik normálható mérték (mert nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a számtani közép és a gyakoriságok általában divergálnak).

 

Például valakinek a születési dátuma egy véletlen szám, nnhhéé szerkezetben lekérdezhető az  https://www.piday.org/find-birthday-in-pi/ oldalon. Egy 
2011 január 11.-én született diák születési dátuma a '11·11·11' , és sorozatként a pí szám 51150 számjegyénél kezdődik, a valószínűsége 9 x10^-6. 

 

Másik példa: ha adott valamilyen előre rögzített szöveg, és egy majom korlátlan ideig véletlenszerűen ütögeti egy írógép billentyűit, akkor kis valószínűséggel, de majdnem biztos, hogy előbb-utóbb ezt az adott szöveget is leírja. Az állítás matematikai bizonyítása lehetséges. Cicero így érvelt a De natura deorum-ban:

„Aki ebben hisz, az azt is elhiheti, hogy egy zsáknyit a huszonegy betűből földre szórva az Annales lesz olvasható. Kételkedem abban, hogy akár csak egy rövid szakasza is megjelenne.” (https://hu.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9gtelen_sok_majom_%C3%A9s_%C3%ADr%C3%B3g%C3%A9p_t%C3%A9tele). Cicero jól érezte, hogy az értelmes szöveg megjelenésének csak kis valószínűsége van, és a lehetséges megjelenés a szöveg hosszával fordítva arányos. Tegyük fel, hogy a kérdéses Annales (történelemkönyv) 100 oldal hosszú, oldalankét 100 betűvel, jellel (ami nekünk kevés, de egy majomnak sok). A könyv  összesen 10000 betűt vagy jelet tartalmaz. A majom számára közömbös, hogy mit írt le előzőleg, ezért az örökifjú tulajdonság, az eloszlás geometriai. Az irógép -a latin ábécé 27 betűs- betűinek és jeleinek száma legyen összesen 30. Minden 10000 hosszú mintázat valószínűsége egyenlő, az örökifjú tulajdonságnak megfelelően, azaz 29 x 30^-10000, de hogy hol jelenik meg a sorozatban, arról semmit nem tudunk állítani, feltehetően sokára, és egy valószínűséggel, majdnem biztosan (az egy valószínűségű esemény nem biztos esemény, csak "majdnem biztos"). 

 

Kétdimenziós eset-ben a véletlenszámok ábrázolása b függvényében, több dimenziós általánosítás is lehetséges. A képek generálása véletlen számok sorokba tördelésével, ábrázolásával történik, vagy minden képponthoz, pixelhez véletlen színgenerátorral rendelnek egy szint. Jó minőségű véletlenszámok ábrázolásai megkülönböztethetetlenül hasonlítanak egymásra. Két különböző véletlenszám ábrázolását a koordinátákon nem sikerült találni. b =2 esetben:

 

 

 

                                                                        (https://www.dreamstime.com/illustration/abstract-noice.html)

 

 

Vegyük észre, hogy a mintázat két dimenzióban fehér-fekete foltos, helyenként hálós-vonalas, nyilvánvalóan szabálytalan mintázatokat mutat nagyobb b értékekre is. A pixelszám növelésével kis valószínűséggel nagyobb fekete- fehér foltok jelennének meg, annak megfelelően, hogy csökkenő valószínűséggel hosszabb sorozatok is előfordulnak egydimenziós esetben. Aszimptotikusan elfeketedhet-kifehéredhet az azonos pixelszámú minta-kép. 

 

Ha b=3 (fehér, fekete, szürke)

 

(https://www.dreamstime.com/illustration/abstract-noice.html)

 

 

b= 4 (zöld sárga kék piros) 

 

 

 

 

 

(https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Every_pixel_has_a_random_color.png)

 

b = 5 (fehér zöld sárga kék piros) 

:

 

(https://graphicdesign.stackexchange.com/questions/26174/how-can-i-create-a-random-pixelated-pattern, és https://graphicdesign.stackexchange.com/questions/26174/how-can-i-create-a-random-pixelated-pattern)

 

 

Gráfok esetén (https://ematlap.hu/tudomany-tortenet-2020-11/957-mi-is-az-a-perkolacio): a perkoláció (szó szerint szivárgás) minden véges vagy végtelen gráfon értelmezhető, és két alapváltozata van: élperkolációban a gráf éleit egymástól függetlenül ugyanakkora  p valószínűséggel nyíltnak, illetve 1-p -vel zártnak sorsoljuk ki; csúcsperkolációban a csúcsokat sorsoljuk nyíltnak vagy zártnak. A két változatban az alapjelenségek ugyanazok. A zárt élekre úgy gondolunk, mint amiket töröltünk, s kérdés az, hogy a megmaradó nyílt éleken keresztül honnan hová lehet eljutni, azaz melyek a megmaradt véletlen gráf összefüggőségi komponensei. Folyadékok és gázok szivárgási modelljeinél hasznos vizsgálat. 

                 A nyílt éleken keresztül honnan hová lehet eljutni négyzetrács és p=0.25, 0.5, 0.75 értékek esetén? A leghosszabb út pirossal kiemelve

                                                                (https://ematlap.hu/tudomany-tortenet-2020-11/957-mi-is-az-a-perkolacio)

 

*

Abból, hogy egy folyamat nemstacionárius sztochasztikus folyamat nem következik, hogy kaotikus, megjósolhatatlan. A nem stacionárius sztochasztikus folyamatok sokszor  átalakítással stacionáriussá alakíthatóak. A legegyszerűbb példák esetén a trendkomponensek (lineáris, exponenciális, logisztikus, periodikus...) becslésének segítségével kiküszöbölhetőek, vagy differenciálással, a növekmény folyamatokban stacionárius sztochasztikus folyamattá alakíthatjuk az eredeti folyamatot. A nemlinearitás is jól kezelhető lineáris becsléssel, ha a becsült paraméterekben lineáris a modell. A trendkomponensek levonásának célja, hogy végül lineáris modellekkel, ARMA-val vagy Kálmán-szűrővel leírjuk a rendszert. A kaotikus rendszerek leírására a most tárgyalt módszerek alkalmatlanok, mert a kaotikus rendszerek nem megjósolhatóak. Vektortérben történő rendszerleírásnál a folyamat jövőjét vetítjük a folyamat jelenére és múltjára, a vetületvektor a becslés, ami egy feltételes várható érték vektor, melyre a nem megjósolható becslési hibavektor merőleges. Az utóbbi eloszlása zérus várható értékű gaussi fehér zaj, vagy egyenletes eloszlású fehérzaj. Amikor a feltételes vetületvektor hossza eltűnik, akkor a folyamat teljesen kaotikus folyamat, ez a megjósolhatatlanság, kiszámíthatatlanság matematikai definíciója.