VÉLETLEN SZÁMOK, VÉLETLEN RÉSZSOROZATOK, MINTÁZATOK KIOLVASÁSA 

(2023)

 

 

Független sorozatok származtatása

Függetlenség: az elemi események halmaza páronként független, ha két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségeinek szorzata. Egy másik meghatározás szerint egy esemény feltételes valószínűsége az esemény valószínűségével egyenlő. A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak. Sorozatok esetén az elemi események ismétlődnek, ekkor a függetlenség definicíója: ha az új elem (vagy elemek) csak a legutolsó elemtől függ és az előző elemektől független, akkor sorozat Markov folyamat. Amennyiben az új elem az utolsó elemtől -és megelőző elemektől is- független, akkor sorozatot örökifjú sorozatnak (https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g) nevezzük. Bizonyított, hogy az utóbbi esetben a sorozat diszkrét esetben geometriai eloszlású, és folytonos esetben exponenciális eloszlású. A diszkrét esetet fogjuk vizsgálni. 

Ha az elemi események száma b - ami sorozatok esetén lehet egy számrendszer alapszáma-, továbbá az események egyenlő, 1/b  valószínűségűek, akkor a független elemi események valamely tetszőleges sorrendű, azaz mintázatú  kmax hosszú független sorozatának valószínűsége:

 (b-1)/b  1/bkmax - 1

és a sorozat hosszának várható értéke b/(b-1). A várható értékek létezésének feltétele, hogy  kmax  megszámlálhatóan végtelen legyen, a valószínűségek összege ekkor 1 – b-kmax = 1. Nem megszámlálható esetben érdekes speciális mesterséges sorozatokat, egyben bizonyítottan irracionális számokat kapunk: pl. a természetes számokat egymás után írva a Champernowne számot, https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html, vagy a prímszámokat (ami az Erdős-Copeland féle szám), amikor a valószínűségek divergálnak, a várható érték nem becsülhető. 

Állítás

Amikor az  (b-1)/b  1/bkmax - 1 valószínűségeket relatív gyakoriságokkal becsüljük: a becslések konvergenciasebességét összehasonlítva e, pi, a prímeket egymás után írva, stb. és a  Champernowne szám esetén, akkor a  Champernowne szám esetén a leggyorsabb a konvergenciasebesség, minden esetben 1/k szerinti. b = 2 esetén a leggyorsabb.

 

 

 

******************

 

 

Nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a Haar mérték (https://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure) bináris esetben véges, azaz normálható mérték, tehát legyen b = 2. A Haar mérték kiszámítása bonyolult, de lényeges állítás, hogy bináris esetben létezik normálható mérték, és az a Haar mérték. Nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a számtani közép és a gyakoriságok divergálnak.

Érdekesség, hogy homogén sorozatok kiolvasása esetén a szinglik gyakorisága nem (b-1)/b, hanem (b-1)2/b2 a kiolvasás módja miatt, bináris esetben 1/4. 

Legyen a páros számjegyek indikátor változója 1, az páratlanoké 0 a bináris Champernowne szám esetén, https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html: ekkor egy  nem megszámlálhatóan végtelen 010101... indikátorsorozatot kapunk, a sorozat szabályos. Szabályos pl. az 101100111000...  irracionális sorozat is, melyekre P(0) = P(1) = 0.5.  

Egy másik probléma: a nulla-egy átmeneteket jelöljük 1-esekkel, az egy-nulla átmeneteket jelüljük 0-val, az indikátor sorozat ekkor is 1,0,1,0,1, . Az ismétlődő szakaszok miatt a várható értékek, valószínűségek becsléshez nem szükséges a számtani közép számítása. Általánosan: amennyiben egy tulajdonsághoz racionális tört - azaz ismétlődő véges hosszúságú- indikátor sorozatot vagy szabályos indikátor sorozatot sikerül rendelnünk, akkor a nem megszámlálhatóan végtelen (bináris) halmazhoz egy véges mérték rendelhető, ha a tulajdonság a halmaz minden elemére vagy igaz vagy nem igaz: a becsült mértéket a tulajdonság Haar mértékének gondoljuk. 

 *************
 
 
Derivation of independent series
 
Independence: a set of elementary events is pairwise independent if the probability of two events occurring together is the product of the probabilities of the two events. Another common definition is that the conditional probability of an event is the probability of the event. Events that do not occur together form a series. In the case of a series of repeated elementary events, then independence: if the new element depends only on the last element, then series is a Markov process. If the new element is independent of the last element -and also of previous elements-, then a series is called a perpetual series (http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/GeometricF.pdf). It is proved that the series then has a geometric distribution in the discrete case and an exponential distribution in the continuous case.
If the number of elementary events is b, which for series can be the base number of a number system, and they are equal and have probability 1/b, then the probability of a series of independent elementary events of arbitrary order, i.e. pattern, is k max: (b-1)/b 1/b kmax-1 and the expected value of the sequence is b/(b-1). The existence of the expected value is conditional on k max being countably infinite, in which case the sum of the probabilities is 1 - b -kmax  = 1. In the non-countable case, there are interesting special artificial sequences, also irrational numbers: e.g. the Champernowne number, https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html, or prime numbers (which is the Erdős-Copeland number), when the sum of the probabilities is divergent, the expected value cannot be estimated.
Main result: Claim: When the probabilities  (b-1)/b  1/bkmax - 1 are estimated with relative frequencies: comparing the convergence speed of the estimates of e, pi, writing the primes in sequence, etc. and a for the Champernowne number, the Champernowne number has the fastest convergence speed.
******************
 
For uncountable infinite sequences, the Haar measure (https://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure) is finite in the binary case, i.e., it is normalizable, so let b = 2. The calculation of the Haar measure is complicated, but the essential claim is that there exists a normalizable measure in the binary case when the probabilities and the arithmetic mean and frequencies diverge.
Comment: reading homogeneous sequences, the frequency of singles is not (b-1)/b, but (b-1)2/b2 because of the reading mode, 1/4 in the binary case. Let the indicator variable for pairs be 1 and for unpairs 0 at the Champernowne number, https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html: when one obtains a non countably infinite series 01010101..... Because of the repetitive stages, it is not necessary to compute the arithmetic mean for the estimation of the mean. In general: if a rational fractional indicator series can be assigned to a property, an estimated measure can be assigned to the uncountable infinite (binary) set if the property is either true or false for all elements of the set. The estimated measure is thought of as an estimate of the Haar measure. Another problem is: the zero-one transitions are denoted by 1's, the one-zero transitions are denoted by 0's, the indicator series is then s 1,0,1,0,1, .