KÁOSZELMÉLET:
Kaotikus rendszerek
(2025 április)
ABSTRACT
A kaotikus rendszerek, definíció szerűen, memórianélküli, megjósolhatlan viselkedésű rendszerek. A már ismert kaotikus rendszerek determinisztikus, labilis rendszerek. A viselkedésük kezdőérték függő, és csak véges idő elteltével válik kaotikussá, megjósolhatatlanná. A kaotikus, vagy a kaotikussá váló viselkedés a kaotikus rendszerek belső (immanens) tulajdonsága, és a kaotikus viselkedés csak valószínűségi, sztochasztikus eszközökkel írható le. Az új kaotikus rendszerek, pl. várakozási időkkel, véletlen bolyongási problémákkal, véletlen számokkal, véletlen gráfokkal kapcsolatosak, a leírásuk a memórianélküliség, a megjósolhatatlan viselkedés fogalmakkal, független növekményű folyamatokkal történik. A memórianélküli rendszereknél a folyamat jövője független a folyamat jelenétől és múltjától. A kaotikus rendszerek gyakran élettartamok, várakozási idők, általában valamilyen esemény bekövetkezéséig eltelt véletlen időtartamok hosszával kapcsolatosak.
A független növekményű sztochasztikus folyamatokat memórianélküli, megjósolhatlan folyamatoknak nevezzük. Vektoros lineáris tárgyalásban a feltételes várható érték és a kaotikus viselkedéssel kapcsolatos zajfolyamat merőlegesek egymásra, ami lehetővé teszi a nem megjósolható, kaotikus rendszerek egyértelmű tárgyalását, mert ekkor a feltételes várható érték vektora merőleges a becslési hibára is, vagy zérus. A feltételes várható értékek számításánál lineáris esetben a zajfolyamat zérus várható értékű fehér Gauss-folyamat vagy fehér zaj. A normális eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet független mennyiségek, az egyenletes eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet pedig feltételesen függetlenek feltéve, hogy a várható érték zérus. A Kálmán-szűrőben zérus várható értékű fehér Gauss-folyamat, vagy zérus várható értékű fehérzaj folyamat.
/ CHAOS THEORY: Chaotic systems....
BEVEZETÉS
Az ismert káoszelmélet (https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1oszelm%C3%A9let) olyan nemlineáris determinisztikus időfüggő és labilis rendszerekkel foglalkozik, amelyek viselkedése csak részben jelezhető előre, a determinisztikus törvényszerűségek ellenére. A tekintett labilis rendszerek érzékenyek a kezdőfeltételekre, amit pillangóhatásnak is neveznek. A labilis determinisztikus rendszerek részben statisztikus, sztochasztikus módszerekkel írhatóak le,
(http://tetelwiki.mafihe.hu/index.php/Dinamikai_rendszerek,_kaotikus_viselked%C3%A9s), és nem feltétlenül azért mert bonyolultak, hanem mert a kaotikus viselkedés a rendszerek sajátos (immanens) tulajdonsága, véges idő után a viselkedésük függetlenné válik a kezdeti állapotoktól, feltételektől.
A valódi determinisztikus rendszerek esetén az aszimptotikus viselkedés t = végtelenben is egyértelműen határozott, azaz csak a részben determinisztikus labilis rendszerek viselkedhetnek kaotikusan. A kevés állapotjelzővel leírható determinisztikus rendszerek is mutathatnak megjósolhatatlan viselkedést. Például a kettős inga mozgása egy idő után függetlenné válik a kezdeti állapotától, nem tér vissza a kezdeti állapotába, strukturálisan labilis rendszer:
A kettős inga két, egymáshoz csatolt ingából álló egyszerű fizikai rendszer, melynek kaotikus mozgását kezdetben determinisztikus differenciálegyenletek határozzák meg, mégis a mozgása egy idő után véletlenszerű, kaotikus.Több változata van, a két inga hossza és tömege is lehet megegyező, vagy különböző. A mozgás leírása lehet 3 dimenziós és 2 dimenziós is (https://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html).
A kaotikus viselkedést mutató rendszerek csak részben determinisztikus rendszerek, ellentétben a káosz szó jelentésével, ami teljes rendezetlenséget (függetlenséget, megjósolhatatlanságot, memórianélküliséget) jelent. Véges idő után instabilitás, lokális rendezetlenség, véletlen viselkedés jellemzi a tekintett rendszereket. A viselkedés akkor labilis, ha két, egymáshoz közeli kezdőhelyzetből indítva a rendszerállapotok különbségei véges időben modellezhetetlenül, kiszámíthatatlanul nőnek. Edward Lorenz egy 1963-as cikkében felismerte a nemlineáris rendszerekben lehetséges nagy érzékenységet a kezdeti feltételek kis eltéréseire. Egyik előadásának a címe alapján sokszor a pillangóhatásként idézik a jelenséget: Predictability: Does the flap of a butterfly's wings in Brazil set off a tornado in Texas? („Megjósolhatóság: Vajon egy pillangó szárnycsapása Brazíliában okozhat-e tornádót Texasban?”). Kis eltérés a kezdeti feltételekben modellezhetetlen nagy változást okoz egy labilis -bizonytalan egyensúlyi állapotú- rendszer állapotában, ezért a viselkedésük hosszú távú előrejelzése lehetetlen, ami a labilis rendszerek alaptulajdonsága.
Létezik a fizikának egy kvantumkáosz-elméletnek nevezett területe, a káoszelmélet egy másik fejezete, amely a kvantummechanika törvényeit követő nemdeterminisztikus rendszerekkel foglalkozik (https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1oszelm%C3%A9let). Egy további új fejezete a káosz elméletnek, amikor a rendszerek viselkedése megjósolhatatlan, és a rendszerek kizárólag statisztikai, valószínűségelméleti módszerekkel írhatóak le, a következőkben ismertetjük.
Megj,: a kauzális és a kaotikus rendszerek memóriájáról: Az irodalomban memórianélküli egy rendszer, ha a kimenet csak a bemenet függvénye. Pl. az elektromos ellenállások memória nélküli elemek. A kauzális rendszerek leírása impulzusválasszal (Dirac-delta) lehetséges. Az ok-okozati összefüggés memória nélküli rendszerekkel
(https://en.wikipedia.org/wiki/Memorylessness) kapcsolatos az angol nyelvű irodalomban, és a holtidős, energiatároló rendszereket is memórianélküli rendszereknek tekintik, ami igazán nem okoz zavart.
KAOTIKUS, MEGJÓSOLHATATLAN VISELKEDÉSŰ FOLYAMATOK
A kaotikus vagy memórianélküli rendszereknél az ok-okozati összefüggés: a rendszer kimenete definíció szerűen nem függ a jelen és múltbeli ki- és bemenetektől, ami kaotikus, memórianélküli rendszerek alaptulajdonsága. Ha a jövő csak a jelenétől függ, de a múlttól nem, akkor Markov lánccal írható le a rendszer, az egy lépéses memóriájú rendszerek a véges Markov láncok. Legyen egy rendszer állapothalmaza: s1, s2, …, sr. … . A rendszer az si állapotból az sj állapotba pij valószínűséggel lép, ahol pij az átmeneti valószínűség P mátrix egyik eleme. A P mátrix a rendszer egylépéses memóriája.
Az eloszlások között csak a geometriai és az exponenciális eloszlások memória nélküliek, örökifjú tulajdonságúak a valószínűségszámításban. Diszkrét esetben
a geometriai eloszlás definíciója az első sikeres kísérletet írja le független és azonos eloszlású Bernoulli-próbák végtelen sorozatában, például az érmefeldobásnál. Folytonos esetben a memórianélküliség, az örökifjú tulajdonság olyan véletlen jelenségeket modellez, mint például a két földrengés közötti idő. A memórianélküliség, az örökifjú tulajdonság alapján a korábbi sikertelen kísérletek száma vagy az eltelt idő független, nincs hatással a jövőbeni kísérletekre vagy az túlélési időre. A túlélési idő definíciója: S(t) = P (X>t), ahol S(t) annak a valószínűsége, hogy él, ha X = t -ben életben volt. Ekkor igaz, hogy S(kt) = S(t)k vagy S(t/k) = S (t)1/k , ahol k pozitív valós. Következik, hogy S(t) = S (1)t = exp (t ln S(1) = exp (-λt), ahol λ = -ln S (1) ≥ 0, azaz exponenciális eloszlású a rendszer. A geometriai az egyetlen diszkrét memória nélküli eloszlás, az exponenciális az egyetlen folyamatos memória nélküli eloszlás, továbbá egyben maximális entrópiájú eloszlások. A zérus várható értékű egyenletes eloszlás és a normális eloszlás a várható értékek és a szórásnégyzetek függetlensége miatt fontos növekmény folyamatok.
A memórianélküli, megjósolhatatlan (= kaotikus, örökifjú eloszlású) folyamatok korrelálatlan, független növekményű folyamatok. A korrelálatlanság csak lineáris függetlenséget jelent. A független növekményű folyamatot homogénnek nevezünk, ha a ξ(t1)-ξ(t0) eloszlását csak a t1 - t0 intervallum hossza határozza meg, és független a t0 -tól. Az egyszerűség kedvéért mindenhol feltételezik, hogy ξ(0)=0, és feltételezik a homogenitást is. A megjósolhatatlan, memórianélküli folyamatoknál a múlt és a jelen alapján számítható feltételes várható értékek zérus értékűek, amennyiben a folyamat várható értéke zérus. A valószínűségelméletben a Lévy-folyamatok, vagy az additív folyamatok olyan folytonos sztochasztikus folyamatok, amelyek független, stacionárius növekményűek. Az egymást követő elmozdulásai véletlenszerűek, amelyekben a páronként különálló időintervallumokban az elmozdulások függetlenek, és az azonos hosszúságú különböző időintervallumokban az elmozdulások azonos valószínűségi eloszlásúak. A Lévy-folyamat a véletlen bolyongás folytonos idejű analógonjának tekinthető. A Lévy-folyamatok legismertebb példái a normális eloszlással kapcsolatos Wiener-folyamat, és az egyenletes eloszlással kapcsolatos Brown-folyamat. A t1 - t0 intervallum hossza lehet exponenciális -akkor Poisson vagy gamma-folyamat-, vagy geometriai eloszlású, akkor a negatív binomiális eloszláshoz vezet, véletlen számok, megbízhatóságelméleti problémáknál hasznosak. A független, diszkrét egyenletes eloszlású változók összege normális eloszláshoz vezet elég nagy N-re.
(https://en.wikipedia.org/wiki/Additive_process, https://en.wikipedia.org/wiki/Independent_increments, https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_divisibility).
A matematikában a Wiener-folyamat pl. bolyongási problémákkal (https://hu.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9letlen_bolyong%C3%A1s) van kapcsolatban. A folyamat egy Norbert Wiener által felfedezett valós értékű, folytonos vagy diszkrét idejű független normális eloszlású növekményekkel rendelkező sztochasztikus folyamat, ahol a növekmények zérus várható értékű normális eloszlásúak, és amelynek a derivált folyamata a fehérzaj folyamat. Gyakran előfordul alkalmazott matematikában, a közgazdaságtanban, a kvantitatív pénzügyekben, az evolúciós biológiában és a fizikában. A Wiener-folyamat tulajdonságai:
- t független növekményű folyamat, azaz minden a növekmény független a múltbeli értékektől, egy folyamat független növekményű, ha 0 ≤ s1 < t1 ≤ s2 < t2 akkor Wt1 − Ws1 és Wt2 − Ws2 független valószínűségi változók.
- t növekményei normális eloszlásúak, zérus várható értékű, u szórású normális eloszlású:
- t folytonos esetben: majdnem biztosan folytonos t -ben.
- (https://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process)
A fehér zaj (amely a Wiener folyamat derivált folyamata, nincs memóriája, matematikai szerepe fontos, a valóságban nem létezik) olyan zaj, melynek
teljesítménysűrűsége független a frekvenciától, (https://hu.wikipedia.org/wiki/Feh%C3%A9rzaj). Bár a fehérzaj korrelálatlan folyamat, és független növekményű, elenyésző az esélye, hogy hosszú zérus növekményű intervallumokat kapjunk, de valahol 1 valószínűséggel előfordulhatnak egy nem megszámlálhatóan végtelen végtelen folyamatban. A valóságban nem létezik végtelen sávszélességű fehérzaj, mert végtelen lenne a teljesítménye, ezért zérus várható értékű és sávkorlátozott fehérzajt tételezünk fel, ekkor a várható értéke és a szórása feltételesen független mennyiségek. Numerikus szimulációk esetén a mintavételezésnél a felső határfrekvencia a mintavételi frekvencia fele. Fizikai jelenségek modellezésénél a Wiener folyamat a fontosabb.
Bolyongási problémák: A fizikában a Brown-mozgás (https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion) a gázokban és folyadékokban lebegő (szuszpendált) részecskék szüntelenül zajló, véletlenszerű hőmozgása a legismertebb, amelyet Robert Brown angol botanikus fedezett fel vízben elkevert virágporszemcséket vizsgálva, a mozgás az anyag atomos szerkezetének fontos bizonyítéka volt. A káoszelméletben szereplő globális keveredés egyik jó példája, amely szerint tipikus kezdőfeltételekkel indítva kellően hosszú idő alatt a rendszer az összes lehetséges állapothoz közel kerül. A szuszpendált részecskék mozgásuk során állandó ütközéseket szenvednek el, viselkedésüket a Maxwell-féle sebességeloszlási függvény írja le. A Brown-mozgás trajektóriái általánosságban véletlenszerű, folyamatos és rendszertelen pályavonalak. A Brown mozgás nem korrelálatlan, mert a részecske adott időpillanatbeli helye függ attól, hogy az előző pillanatban hol volt. A Brown-mozgás egy független növekményű folyamat, ami azt jelenti, hogy a részecske adott helyzete csak az előző pillanatbeli helyzetétől függ, és az azt megelőző helyzetektől független. A Brown-mozgás jellegzetessége, hogy a folyamat nem stacionárius, a kezdeti helyétől az idő vagy a lépésszám négyzetgyökével arányosan távolodik.
Bolyongás az egész számokon véletlen lépésekkel
(https://www.mit.edu/~kardar/teaching/projects/chemotaxis(AndreaSchmidt)/random.htm)
A véletlen bolyongás az a folyamat, amikor véletlenszerűen mozgó tárgyak elvándorolnak onnan, ahonnan indultak. Véletlen bolyongás sokféle van, pl. egy olyan sztochasztikus folyamat, amely az egész számokon véletlen lépésekből áll, amely 0-nál kezdődik, és minden lépésnél egyenlő valószínűséggel +1 vagy −1 lépést tesz a számegyenesen. További példa egy molekula nyomvonala, miközben folyadékban vagy gázban halad (lásd a Brown-mozgást), a táplálékot kereső állat keresési útvonala, az ingadozó készletek árai, és egy szerencsejátékos pénzügyi helyzete. Sok folyamatot lehet modellezni véletlenszerű bolyongási modellek segítségével, még akkor is, ha a ezek a jelenségek valóságban nem feltétlenül véletlenszerűek. A kezdeti helytől a távolság a lépésszám négyzetgyökével arányosan távolodik (https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk). A távolság a lépésszám négyzetgyökével osztva egy állandóhoz, (2/π)1/2 -hoz tart.
A képen 7 fekete pont látható, amelyek egy helyről indulnak változó lépésnagysággal két dimenzióban. Erdős Pál és Samuel James Taylor kimutatta 1960-ban, hogy 4-nél kisebb vagy egyenlő dimenziók esetén bármely két adott pontból induló két független véletlenszerű séta szinte biztosan végtelenül sok metszésponttal rendelkezik, 5-nél nagyobb dimenzióknál viszont szinte biztosan csak véges gyakran metszik egymást. A kétdimenziós véletlenszerű séta aszimptotikus függvényét a lépések számának növekedésével egy Rayleigh-eloszlás adja meg.
(https://www.mit.edu/~kardar/teaching/projects/chemotaxis(AndreaSchmidt)/random.htm)
Bolyongás egy dimenzióban, amikor a lépésnagyságokat véletlen számok határozzák meg, és a lépések irányai is véletlenszerűek. A kérdés az, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy nagy t idő után valamilyen távolságban található a mozgó objektum? Mikor helyettesíthető a véletlen lépésnagyság a várható értékével? Ha minden lépést a 0 várható értékével helyettesítünk, akkor várhatóan helyben marad. H a lépések összegének a négyzetes várható értékét számítjuk, akkor a távolság a lépésszám négyzetgyökével távolodik.
Három dimenziós bolyongás, 1921-ben Pólya György bebizonyította, hogy 3 vagy annál nagyobb dimenzió esetén a dimenziók számának növekedésével csökken annak valószínűsége, hogy visszatér a mozgás az Origóba. 3 dimenzióban a valószínűség nagyjából 34%-ra csökken. (https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk)
Magasabb dimenziókban a véletlenszerűen meglátogatott pontok halmazát diszkrét fraktál-nak nevezik , egy olyan halmaznak, amely sztochasztikus önhasonlóságot mutat, folytonos esetben látványos ábrákat eredményez. (https://hu.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-halmaz). A véletlen bolyongás pályája a meglátogatott pontok halmaza, figyelmen kívül hagyva, hogy a bolyongás mikor látogatta meg a pontot.
Amikor gradienssel mérhető, hogy mennyit változik a részecskék Brown-féle hőmozgása (egysége darab/ térfogat), amikor az egyik régióból a másikba mozognak:
Brown-mozgás két dimenzióban, gázokban, folyadékokban, amikor a hőmérséklet gradiense még nem nulla
(https://www.mit.edu/~kardar/teaching/projects/chemotaxis(AndreaSchmidt)/random.htm)
Függetlenség, feltételes függetlenség, Markov folyamatok, az örökifjú tulajdonság
A korreláció méri két tetszőleges érték közötti lineáris kapcsolat erősségét. A korrelálatlanság nem feltétlenül jelent függetlenséget, de bizonyos, hogy nincs az értékek között lineáris összefüggés. Ha két véletlen mennyiség korrelációja nulla, akkor korrelálatlanok, és a kapcsolatot feltételes valószínűségekkel írjuk le. A normális eloszlású valószínűségi változókra jellemző, hogy ha korrelálatlanok, akkor függetlenek is. Így a korreláció jól alkalmazható normális eloszlásúnak tekinthető mérhető mennyiségek közötti kapcsolat erősségének mérésére. A zérus várható értékű fehérzaj egyenletes eloszlású valószínűségi változók várható értéke és a szórása feltételesen függetlenek, a feltétel az, hogy zéérus várható értékű.
A feltételes függetlenség az események, halmazrendszerek, valószínűségi változók függetlenségének általánosítása a feltételes valószínűség és feltételes várható érték segítségével. A feltételes várható értéket a valószínűségszámításban (https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation) a feltételes valószínűség definiálására használják. A feltételes várható érték lehet valószínűségi változó vagy függvény, amelyet feltételes valószínűségi eloszlással számítanak, vagy például a folyamat jövőjéből képzett vektorának a folyamat múltjára történő vetítésével, pl. a realizációelméletben, a káoszelméletben zérus, esetleg konstans. Ha a valószínűségi változó csak véges számú értéket vehet fel, akkor a "feltétel" az, hogy a változó ezeknek az értékeknek csak egy részhalmazát veheti fel. Formálisan, abban az esetben, ha a valószínűségi változó egy diszkrét valószínűségi téren van definiálva, a "feltételek" ennek a valószínűségi térnek a partíciói.
Függetlenség: az elemi események halmaza páronként független, ha két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségeinek szorzata, vagy egy másik meghatározás szerint: egy esemény feltételes valószínűsége az esemény valószínűségével egyenlő. A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak. A sorozatokban az elemi események ismétlődnek, ekkor a függetlenség definíciója: ha egy esemény (vagy elemek) bekövetkezése csak a legutolsó eseménytől, elemtől függ, és az előzőektől független, akkor sorozat Markov folyamat.
Amennyiben az új elem az utolsó elemtől -és megelőző elemektől is- független, akkor sorozatot örökifjú sorozatnak, folyamatnak nevezzük. Bizonyított, hogy az örökifjú (memorylessnessang, https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g) sorozat diszkrét esetben geometriai eloszlású, ami pl. az egyenletes eloszlású diszkrét fehér zaj számjegysorozatainak az eloszlása, folytonos esetben pedig exponenciális eloszlás, illetve a Poisson folyamat.
Tehát: A kaotikus, megjósolhatatlan rendszerek esetén a rendszerleírásra használt eloszlások a normális, az egyenletes, a geometriai és az exponenciális, Poisson eloszlások, és az ezekből származtatott eloszlások, folyamatok. A normális és az egyenletes eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet független, az egyenletes eloszlásnál csak feltételesen független mennyiségek, ha zérus a várható érték. A geometriai és az exponenciális örökifjú tulajdonságúak, azaz a folyamat jövője független a folyamat jelenétől és a múltjától. Megj,.: Kevés geometriai folyamattal lehet találkozni az irodalomban.
A Markov folyamatoknál csak a folyamat jelenétől függ a folyamat jövője. A Markov-folyamat kifejezés egy sztochasztikus folyamat részben emlékezet nélküli tulajdonságára utal, ami azt jelenti, hogy jövőbeli fejlődése független a történetétől, csak a jelenétől függ. Nevét Andrej Markov orosz matematikusról kapta. Az erős Markov-tulajdonságnál a „jelen” jelentését egy leállási időként ismert valószínűségi változóval határozzuk meg. A Markov féle véletlen mező kiterjeszti a tulajdonságot két vagy több dimenzióra.
Eloszlások, példa folyamatok
Az exponenciális eloszlás sokszor használható véletlen időtartamok modellezésére:
- az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága jól modellezi a várakozási időket,
- egy egy ember kiszolgálása egy boltban, (sorbanállás-elmélet, https://hu.wikipedia.org/wiki/Sorban%C3%A1ll%C3%A1s-elm%C3%A9let),
- egy egy ember kiszolgálása egy boltban, (sorbanállás-elmélet, https://hu.wikipedia.org/wiki/Sorban%C3%A1ll%C3%A1s-elm%C3%A9let),
- egy üzletben két ügyfél érkezése közötti idő,
- egy számítás elvégzése egy számítógépen,
- egy számítás elvégzése egy számítógépen,
- forgalmi helyzeteket leíró elmélet,
- egy ember reakcióideje,
- két esemény bekövetkezése között eltelt idő pl. izzólámpák esetén (megbízhatóságelmélet),
- járványterjedés modellezése, egy fertőzés terjedése, de a gyógyulási időt is,
- radioaktív részecskék bomlási ideje,
- egy ember reakcióideje,
- két esemény bekövetkezése között eltelt idő pl. izzólámpák esetén (megbízhatóságelmélet),
- járványterjedés modellezése, egy fertőzés terjedése, de a gyógyulási időt is,
- radioaktív részecskék bomlási ideje,
- az exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege Γ-eloszlású. Pontosabban ha X1, X2, … Xn független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X1 + X2 + … + Xn n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.
A Poisson folyamat (https://hu.wikipedia.org/wiki/Poisson-folyamat) egy örökifjú sztochasztikus folyamat**, mely események számát és időközeit modellezi, amelynél a T1, T2, . . . érkezések közötti időintervallumok exponenciális eloszlású független valószínűségi változók. Alapfolyamata egy időben folytonos számláló folyamat {N(t), t ≥ 0}, a következő tulajdonságokkal: N(0) = 0, egymástól független növekmények jellemzik, továbbá stacionárius növekmények (bármely időközben az előfordulások számának eloszlása csak az időközök hosszától függ), és nincsenek egyidejű események. A következő esemény várakozási ideje exponenciális eloszlású. Memória-mentesség, az örökifjú tulajdonság jellemzi az eloszlást, azaz az egymás utáni beérkezési események függetlenek, és egy t időbeli eseményt nem befolyásolja a t idő előtti események bármelyike. Alkalmazásai:
-telefonhívások beérkezése,
- labdarúgó meccseken előforduló gólok,
- webszerverekhez beérkező kérelmek.
- részecske-emisszió radioaktív bomláskor (ami inhomogén Poisson-folyamat),
- a sorbanállás elméletben az ügyfelek-kiszolgálók sorbaállása sokszor Poisson-folyamat. A sorbanállás elméletben a legkorábbi, Erlang -féle modellben (https://hu.wikipedia.org/wiki/Sorban%C3%A1ll%C3%A1s-elm%C3%A9let) a legkorábbi, Erlang -féle modellben a beérkezések a Poisson-folyamat szerint történnek, a kiszolgálás idő egy határozott érték, a kiszolgálók száma a sorbanállási csomópontokon több mint 1 (k = 1, 2,...). A Poisson-folyamat a véletlenszerű eseményeket memóriamentes folyamatként kezeli, a különböző időintervallumoknál nem veszi figyelembe, hogy korábban mi történt. Hasonló az exponenciális eloszlás is, a P folyamat exponenciális változók összegének folyamata.
A geometriai eloszlás felhasználható (https://hu.wikipedia.org/wiki/Geometriai_eloszl%C3%A1s):
- egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél,
- forgalmi helyzeteket leíró elmélet,
- készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása,
- várakozási idő meghatározására az első meghibásodásig
- gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között;
- gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között;
- alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata,
- biztosítási matematika,
- adatátvitel hibaarányának meghatározása,
- a geometriai eloszlás a független Bernoulli-kísérletek eloszlása. A geometriai eloszlás általánosítása a binomiális eloszlás több sikeres kísérletre, amit két módon fogalmaznak meg: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.
- a geometriai eloszlás az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás, az utóbbi jól közelíti a Poisson eloszlást is speciális esetben. A független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege, amennyiben mindegyiknek ugyanaz a paramétere, negatív binomiális eloszlású, de a negatív binomiális eloszlás nem örökifjú eloszlás.
Például a sorbanállás elméletben a vállalkozások logisztikájának elemzése geometriai eloszláshoz is vezet. A raktárak sorbaállási elméletet alkalmaznak a csomagok raktárból a vevőhöz történő szállítása során a rendszer egyenletes működésének biztosítására. Ekkor a vizsgált sor olyan dobozokból áll, amelyek arra várnak, hogy az ügyfeleknek kiszállítsák. A sorbanállási elmélet alkalmazásával a vállalkozások hatékonyabb rendszereket, folyamatokat, árképzési mechanizmusokat, személyzeti megoldásokat és érkezéskezelési stratégiákat fejleszthetnek ki az ügyfelek várakozási idejének csökkentése és a kiszolgálható ügyfelek számának növelése érdekében (https://hu.wikipedia.org/wiki/Sorban%C3%A1ll%C3%A1s-elm%C3%A9let) .
A műszaki tudományok kaotikus rendszerekkel kapcsolatos egyik területe a megbízhatóságelmélet, ahol kezdetben a műszaki megbízhatóság fogalmát a hibamentes működés (exponenciális eloszlású) valószínűségével azonosították (pl. az első meghibásodásig működő berendezések).
A megbízhatóságelmélet már magába foglalja a hibamentesség, a tartósítás az élelmiszeriparban, a karbantartás és a tárolhatóság fogalmait is. (Néhány oldal a témában:
https://www.2ge.hu/doc/def.html, https://kjit.bme.hu/images/Tantargyak/Bsc_(2016_elott)_targyak/Megbizhatosag_es_biztonsag/megbzhatsg_s_biztonsg_1.pdf, https://acadpubl.eu/hub/2018-118-22/articles/22b/94.pdf és a számítástechnikában: http://hadmernok.hu/2009_4_kun.pdf). Megbízhatósági alapfogalmak (https://encyclopediaofmath.org/wiki/Reliability_theory):
Meghibásodási gyakoriság (FR: failure rate): Megadja, hogy egy adott darabszámból álló vizsgált rendszer átlagosan hányszor hibásodik meg.
Mértékegysége 1/óra,(FIT – Failures In Time – valamennyi óra alatt átlagosan bekövetkező meghibásodások száma).
Meghibásodások közötti átlagos időköz (Mean Time Between Failures, MTBF): Megadja, hogy a rendszer két meghibásodása között átlagos időt.
Átlagos javítási idő (Mean Time To Repair, MTTR): megadja, hogy a rendszer meghibásodása utáni üzembeállítása átlagosan mekkora időt vesz igénybe.
A megbízhatóságelmélet fontos összetevői:
Működőképesség (reliability),
Rendelkezésre állás (availability),
Biztonság (safety),
Karbantarthatóság, javíthatóság (maintenability),
Tesztelhetőség (testability),
Áttekinthetőség, megismerhetőség (recognizability),
Kezelhetőség (operability),
Védettség, ellenálló képesség (security),
Biztonság (safety),
Karbantarthatóság, javíthatóság (maintenability),
Tesztelhetőség (testability),
Áttekinthetőség, megismerhetőség (recognizability),
Kezelhetőség (operability),
Védettség, ellenálló képesség (security),
Hihetőség (creditability),
Teljesítmény (performability),
Hitelesség (integrity).
Az első szakaszban a termék korai, esetleg szállítási hibák ideje, ahonnan a hibák száma folyamatosan csökken, és állandósul a hibagyakoriság. A harmadik szakasz az öregedés ideje, amikor az elhasználódás miatt nőni kezd a meghibásodási ráta. Sok kereskedelmi forgalomban lévő termékre jellemző a "fürdőkádgörbe", például a háztartási gépekre. (https://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCrd%C5%91k%C3%A1dg%C3%B6rbe)
A Weibull-eloszlás (https://hu.wikipedia.org/wiki/Weibull-eloszl%C3%A1s) általánosan használt eloszlás a megbízhatóságelméletben, egy speciális exponenciális eloszlás, az időfüggő meghibásodások hatványfüggvénnyel való megközelítésére szolgál, amivel a “fürdőkádgörbe” korai és elhasználódással kapcsolatos szakaszai, illetve az ezekkel kapcsolatos meghibásodások is jól közelíthetőek és számszerűsíthetőek. A meghibásodás-mentes működés valószínűsége egy (t, t+Δt) időintervallumban független a korábban eltelt időtől, és csak a Δt időintervallum nagyságától függ, azaz a jövőbeni meghibásodás független a rendszer előéletétől. Weibull szerint a túlélés valószínűsége: R(t) = exp -(t/β - γ/β)α , ahol az eloszlás paraméterei:
α - alakparaméter vagy Weibull kitevő, amely a Weibull eloszlás görbéjének alakját határozza meg:
– α<1: a korai meghibásodások szakasza, a meghibásodási ráta értéke az idő függvényében monoton csökken;
– α=1: a véletlen meghibásodások, a használati idő szakasza, a meghibásodási ráta értéke az idő függvényében állandó;
– α>1: az elhasználódással összefüggő meghibásodások szakasza, a meghibásodási ráta értéke az idő függvényében monoton nő;
β - az ún. karakterisztikus élettartam;
γ - a helyzetparaméter, amely a meghibásodások megkezdődésének időpontját határozza meg:
– γ>0: olyan üzemállapot, amelyben a meghibásodások csak egy t= γ idő után kezdődnek meg (pl. korrózió, dugaszcsatlakozók felületén bevonat képződése),
– γ=0: olyan üzemállapot, amelyben a meghibásodások már az igénybevétel kezdetén fellépnek.
A Weibull eloszlás egy másik változata (https://hu.wikipedia.org/wiki/Weibull-eloszl%C3%A1s) szerint x valószínűségi változó valószínűség-sűrűségfüggvénye:
ahol k > 0 az alakparaméter és λ > 0 a skálaparaméter. A Weibull-eloszlás*** több más valószínűségi eloszlással is kapcsolatos, pl. az exponenciális eloszlással (k = 1), és a Rayleigh-eloszlással (k = 2). A Weibull-eloszlás ez utóbbi kettő között egy interpolációnak tekinthető. Ha x az az érték, mely a meghibásodásig eltelt időt jelzi, akkor a Weibull-eloszlás az idővel arányos meghibásodási gyakoriságot jelzi. A k alakparaméter értelmezése:
- k<1 azt jelenti, hogy a meghibásodási gyakoriság idővel csökken. Ez akkor fordul elő, ha a kezdeti meghibásodás jelentős, és idővel ezért csökken a meghibásodás, mert a potenciálisan hibás elemek már kiestek a rendszerből.
- k=1 esetén a meghibásodási gyakoriság időben állandó. Ez azt jelenti, hogy a hibákat véletlenszerű külső események okozzák.
- k>1 azt jelzi, hogy a meghibásodási gyakoriság időben növekszik. Ez akkor fordulhat elő, amikor a vizsgálat tárgya az öregedési tartományba kerül, a rendszer alkotóelemei az elöregedés, és az elhasználódás miatt egyre gyakrabban hibásodnak meg.
Megj.: Az entrópia a hőtan és az informatika fogalma egy rendszer rendezetlenségi fokát jellemzi, a termodinamikában az anyagi rendszerek molekuláris rendezetlenségét és a termodinamikai valószínűségének a mértékét. A rendszerállapotok termodinamikai valószínűségeit jelölje ωi , i = 1,2,3,...,
akkor -k ln ωi az entrópia az ωi állapotban, ahol k a Boltzmann-állandó. Ha egy rendszer a környezetéből nem vesz fel hőt, akkor a rendszerben lejátszódó spontán folyamatok során a rendszer entrópiája mindaddig nő, amíg egyensúlyi állapotba jut, és egyensúlyi állapotában a rendszer entrópiája maximális. A termodinamika második törvénye kimondja, hogy az izolált rendszer entrópiája nem csökken. Egy nyílt rendszer entrópiája csökkenhet, de az Univerzum teljes entrópiája nem. Ha egy folyamat reverzibilis, az entrópia nem változik, míg a visszafordíthatatlan folyamatok mindig növelik a teljes entrópiát. A termodinamikai entrópia fogalmát Rudolf Clausius vezette be. (Tisztelet illeti Boltzmannt a logaritmikus függés bevezetéséért!) Formai hasonlóság alapján Neumann János javasolta Shannonnak, hogy az informatika alapképletét nevezze entrópiának (https://hu.wikipedia.org/wiki/Shannon-entr%C3%B3piaf%C3%BCggv%C3%A9ny). Bizonyított, hogy az exponenciális eloszlás családban a geometriai és az exponenciális eloszlások entrópiája maximális. Az exponenciális eloszlás családra vonatkozóan ld. https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution .
Vektoros tárgyalásban a feltételes várható érték és a kaotikus viselkedéssel kapcsolatos zajfolyamat* merőlegesek egymásra, ami lehetővé teszi a nem megjósolható rendszerek egyértelmű matematikai tárgyalását, leírását. A Bayes becslés (https://hu.wikipedia.org/wiki/Bayes-f%C3%A9le_rekurz%C3%ADv_becsl%C3%A9s) esetén pedig számszerűsíthetőek az a priori és posteriori valószínűségek. Ha a változók normál eloszlásúak és az átmenetek lineárisak, a Bayes-becslés és a Kálmán-szűrővel számított feltételes várható érték megegyeznek, és az állítás általánosítható zérus várható értékű egyenletes eloszlású fehérzajra is.
Természetes cél volt a tárgyalás, azaz az örökifjú, memórianélküli rendszerek, a független növekményű folyamatok, a feltételes várható érték számításán alapuló vetítés, és a bolyongások tárgyalásának egyesítése. Az a közös bennük, hogy a folyamat múltját és jelenét ismerve semmit sem lehet állítani a folyamat jövőjéről (a várható értéken és a szóráson kívül), ami az örökifjú, a memórianélküli tulajdonság, a független növekmények miatt. Egy független növekményű folyamatot homogénnek nevezünk, ha a ξ(t1)-ξ(t0) eloszlását csak a t1 - t0 intervallum hossza határozza meg, és független a t0 -tól, és az egyszerűség kedvéért mindenhol feltételezik, hogy ξ(0)=0. Néhány olyan sztochasztikus folyamat, amely definíció szerint rendelkezik független növekményekkel, a Wiener-folyamat, a fehér zaj, az összes Lévy-folyamat, az összes additív folyamat, és a Poisson-pontfolyamat. Miért hagyják ki a geometriai folyamatokat (v.ő. diszkrét Brown mozgás)? (https://en.wikipedia.org/wiki/Independent_increments). A Poissonnál pedig a várható értéke nem reciproka a paraméterének, csak közelítőleg örökifjú a Poisson eloszlás algebrailag, de független növekményű folyamat.
ÖRÖKIFJÚ PROBLÉMÁK
Egy dimenziós eset-ben diszkrét örökifjú sorozatokat fogunk vizsgálni, melyek geometriai eloszlásúak. Ha valamely sorozat eseményeinek, elemei egyenletes eloszlásúak, valószínűségei egyenlőek, 1/b értékűek, ha az elemi események száma b, ami jelölje a számrendszer alapszámát is, akkor a független elemi események valamely tetszőleges k hosszú (k=1,2,3,...,kmax) független sorozatának valószínűsége (b-1)/bk , és geometriai eloszlású. Az eloszlás paramétere (b-1)/b, egyben az egységnyi hosszú sorozatok, a sziglik valószínűsége. Az eloszlás várható értéke is b/(b-1), a valószínűségek összege pedig 1 – b-kmax . A várható érték létezésének feltétele, hogy kmax megszámlálhatóan végtelen legyen.
Megj.: Nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a Haar mérték (https://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure) bináris esetben véges, azaz normálható mérték. Bár a Haar mérték kiszámítása bonyolult, de lényeges állítás, hogy bináris nem megszámlálható esetben is létezik normálható mérték (mert nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a számtani közép és a gyakoriságok általában divergálnak).
Például valakinek a születési dátuma egy véletlen szám, nnhhéé szerkezetben lekérdezhető az https://www.piday.org/find-birthday-in-pi/ oldalon. Egy
2011 január 11.-én született diák születési dátuma a '11·11·11' , és sorozatként a pí szám 51150 számjegyénél kezdődik, a valószínűsége 9 x10-6. A véletlen egybeesés olyan események, körülmények egybeesése, amelyeknek nincs -vagy nem ismert az- okozati összefüggése, és amelyeknek a okszerűnek tekintése hamis állításokhoz, esetleg a fatalizmusba vetett hithez vezethet, az utóbbi szerint az események egybe esése pontosan eltervezett. Statisztikai szempontból az egybeesések törvényszerűek. Példa erre a születésnapi probléma, mely szerint annak a valószínűsége, hogy két embernek egyforma születésnapja van, már meghaladja az 50%-ot egy 23 fős csoportban. (A születésnapi probléma általánosítása: https://www.mdpi.com/2227-7390/12/24/3882: M. Pollanen (2024) A Double Birthday Paradox in the Study of Coincidences, Mathematics 23(24), 3882.) A véletlenek nemcsak a mindennapi életben, hanem a tudományos és statisztikai vizsgálatokban is előfordulnak. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika elegendő az egybeesések magyarázatára: az egymástól független események nem egymást kizáró események, lehet nem zérus az együttes előfordulásuk valószínűsége.
2011 január 11.-én született diák születési dátuma a '11·11·11' , és sorozatként a pí szám 51150 számjegyénél kezdődik, a valószínűsége 9 x10-6. A véletlen egybeesés olyan események, körülmények egybeesése, amelyeknek nincs -vagy nem ismert az- okozati összefüggése, és amelyeknek a okszerűnek tekintése hamis állításokhoz, esetleg a fatalizmusba vetett hithez vezethet, az utóbbi szerint az események egybe esése pontosan eltervezett. Statisztikai szempontból az egybeesések törvényszerűek. Példa erre a születésnapi probléma, mely szerint annak a valószínűsége, hogy két embernek egyforma születésnapja van, már meghaladja az 50%-ot egy 23 fős csoportban. (A születésnapi probléma általánosítása: https://www.mdpi.com/2227-7390/12/24/3882: M. Pollanen (2024) A Double Birthday Paradox in the Study of Coincidences, Mathematics 23(24), 3882.) A véletlenek nemcsak a mindennapi életben, hanem a tudományos és statisztikai vizsgálatokban is előfordulnak. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika elegendő az egybeesések magyarázatára: az egymástól független események nem egymást kizáró események, lehet nem zérus az együttes előfordulásuk valószínűsége.
Másik példa: ha adott valamilyen előre rögzített szöveg, és egy majom korlátlan ideig véletlenszerűen ütögeti egy írógép billentyűit, akkor igen kis valószínűséggel, de igen hosszú idő után már majdnem biztosan az adott szöveget is leírja. Az állítás matematikai bizonyítása lehetséges. Cicero így érvelt a De natura deorum-ban: „Aki ebben hisz, az azt is elhiheti, hogy egy zsáknyit a huszonegy betűből földre szórva az Annales lesz olvasható. Kételkedem abban, hogy akár csak egy rövid szakasza is megjelenne.”
(https://hu.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9gtelen_sok_majom_%C3%A9s_%C3%ADr%C3%B3g%C3%A9p_t%C3%A9tele). Cicero jól érezte, hogy az értelmes szöveg megjelenésének csak kis valószínűsége van, és a lehetséges megjelenés a szöveg hosszával fordítva arányos. Tegyük fel, hogy a kérdéses Annales (történelemkönyv) 100 oldal hosszú, oldalankét 100 betűvel, jellel (ami nekünk kevés, de egy majomnak sok). Így a könyv összesen 10000 betűt vagy jelet tartalmaz. A majom számára közömbös, hogy mit írt le előzőleg, ezért is az örökifjú tulajdonság, az eloszlás geometriai. Az írógép -a latin ábécé 27 betűs- betűinek és jeleinek száma legyen összesen 30. Minden 10000 hosszú mintázat valószínűsége egyenlő az örökifjú tulajdonságnak megfelelően, azaz 29 x 30-10000, de hogy hol jelenik meg egy végtelen hosszú sorozatban, arról semmit nem tudunk állítani, feltehetően sokára, és egy valószínűséggel, majdnem biztosan (az egy valószínűségű esemény nem biztos esemény, csak "majdnem biztos").
Kétdimenziós eset-ben a véletlen számok ábrázolása b függvényében, több dimenziós általánosítás is lehetséges. A képek generálása véletlen számok sorokba tördelésével, ábrázolásával történik, vagy minden képponthoz, pixelhez véletlen színgenerátorral rendelnek egy szint. Jó minőségű véletlen számok ábrázolásai megkülönböztethetetlenül hasonlítanak egymásra. Két különböző véletlen szám ábrázolását a koordinátákon nem sikerült találni.
b =2 esetben:
Vegyük észre, hogy a mintázat két dimenzióban fehér-fekete foltos, helyenként hálós-vonalas, nyilvánvalóan szabálytalan mintázatokat mutat nagyobb b értékekre is. A pixelszám növelésével kis valószínűséggel nagyobb fekete-fehér foltok, hosszabb hálóvonalak jelennének meg, annak megfelelően, hogy csökkenő valószínűséggel hosszabb sorozatok is előfordulnak egydimenziós esetben. Aszimptotikusan elfeketedhet-kifehéredhet egy azonos pixelszámú minta-kép.
Ha b=3 (fehér, fekete, szürke)
b= 4 (zöld sárga kék piros)
b = 5 (fehér zöld sárga kék piros)
:
(https://graphicdesign.stackexchange.com/questions/26174/how-can-i-create-a-random-pixelated-pattern, és https://graphicdesign.stackexchange.com/questions/26174/how-can-i-create-a-random-pixelated-pattern)
Gráfok esetén (https://ematlap.hu/tudomany-tortenet-2020-11/957-mi-is-az-a-perkolacio): a perkoláció (szó szerint szivárgás) minden véges vagy végtelen gráfon értelmezhető, és két alapváltozata van: élperkolációban a gráf éleit egymástól függetlenül ugyanakkora p valószínűséggel nyíltnak, illetve 1-p -vel zártnak sorsoljuk ki; csúcsperkolációban a csúcsokat sorsoljuk nyíltnak vagy zártnak. A két változatban az alapjelenségek ugyanazok. A zárt élekre úgy gondolunk, mint amiket töröltünk, s kérdés az, hogy a megmaradó nyílt éleken keresztül honnan hová lehet eljutni, azaz melyek a megmaradt véletlen gráf összefüggő komponensei. Folyadékok és gázok szivárgási modelljeinél hasznos vizsgálat.
A nyílt éleken keresztül honnan hová lehet eljutni négyzetrács és p=0.25, 0.5, 0.75 értékek esetén? A leghosszabb út pirossal kiemelve
*
Abból, hogy egy folyamat nemstacionárius sztochasztikus folyamat nem az következik, hogy kaotikus, megjósolhatatlan. A nem stacionárius sztochasztikus folyamatok sokszor átalakítással stacionáriussá alakíthatóak. A legegyszerűbb példák esetén a trendkomponensek (lineáris, exponenciális, logisztikus, periodikus...) becslésének segítségével kiküszöbölhetőek, vagy differenciálással, differencia képzéssel a növekmény folyamatokban stacionárius sztochasztikus folyamattá alakíthatjuk az eredeti folyamatot. A nemlinearitás is jól kezelhető szakaszonként lineáris becsléssel, vagy ha a becsült paraméterekben lineáris a modell. A trendkomponensek levonásának célja, hogy végül lineáris modellekkel, ARMA-val vagy Kálmán-szűrővel leírjuk a rendszert.
Vektortérben történő rendszerleírásnál a folyamat jövőjét vetítjük a folyamat jelenére és múltjára, a vetületvektor a becslés, az ARMA vagy a Kálmán-szürővel számított feltételes várható érték vektor, amelyre a nem megjósolható hibavektor merőleges. Az utóbbi kaotikus viselkedésű, memórianélküli, eloszlása zérus várható értékű gaussi fehér zaj, vagy egyenletes eloszlású fehérzaj. (Talán lehetséges az általánosítás zérus várható értékű exponenciális és geometriai eloszlású zajokra.)
Amikor a feltételes vetületvektor hossza eltűnik, akkor a folyamat kaotikus, ami a megjósolhatatlanság, örökifjúság matematikai definíciója. A matematikusok a feltételes várható érték becslését (predikció) szűrőnek nevezik, a mérnökök a valódi érték becslést nevezik szűrésnek (filtráció), az utóbbi a mért érték szorzását jelenti a Q/(Q+R) mátrix-szal, ahol R a mérési zaj, Q a forrás zaj kovariancia mátrixa, és Q+R a a nem megjósolható hibavektor kovariancia mátrixa.
**
Sztochasztikus folyamatok például (https://hu.wikipedia.org/wiki/Sztochasztikus_folyamatok_list%C3%A1ja)
Bernoulli-folyamat
Bernoulli-séma
Születés-halál folyamat
Elágazási folyamat
Elágazó véletlenszerű mozgás
Brown-híd
Brown-mozgás
Kínai étterem folyamat
CIR-folyamat
Kointelláció
Folytonos sztochasztikus folyamat
Cox-folyamat
Dirichlet-folyamat
Véges dimenziós eloszlás
Galton–Watson-folyamat
Gamma-folyamat
Gauss-folyamat
Gauss–Markov-folyamat
Girsanov-tétel
Homogén folyamatok
Karhunen–Loève-tétel
Lévy-folyamat
Helyi idő (matematika)
Hurok nélküli véletlenszerű mozgás
Markov-folyamatok
Markov-lánc
Folytonos idejű Markov-lánc
Markov-folyamat
Szemi–Markov-folyamat
Gauss–Markov-folyamat
Martingál
Ornstein–Uhlenbeck folyamat
Pont folyamatok
Poisson-folyamat
Populáció folyamat
Valószínűségi sejtautomata
Sorbanállás-elmélet
Sorbanállás
Valószínűségi mező
Gauss-féle valószínűségi tér
Markov-féle valószínűségi tér
Folytonos mintavételi folyamat
Állandó valószínűségi folyamat
Sztochasztikus kalkulus
Itó-kalkulus
Malliavin-kalkulus
Szemimartingál
Stratonovich-integrál
Sztochasztikus differenciálegyenlet
Távíró folyamat
Idősorok
Wald-martingál
Wiener-folyamat
Bernoulli-séma
Születés-halál folyamat
Elágazási folyamat
Elágazó véletlenszerű mozgás
Brown-híd
Brown-mozgás
Kínai étterem folyamat
CIR-folyamat
Kointelláció
Folytonos sztochasztikus folyamat
Cox-folyamat
Dirichlet-folyamat
Véges dimenziós eloszlás
Galton–Watson-folyamat
Gamma-folyamat
Gauss-folyamat
Gauss–Markov-folyamat
Girsanov-tétel
Homogén folyamatok
Karhunen–Loève-tétel
Lévy-folyamat
Helyi idő (matematika)
Hurok nélküli véletlenszerű mozgás
Markov-folyamatok
Markov-lánc
Folytonos idejű Markov-lánc
Markov-folyamat
Szemi–Markov-folyamat
Gauss–Markov-folyamat
Martingál
Ornstein–Uhlenbeck folyamat
Pont folyamatok
Poisson-folyamat
Populáció folyamat
Valószínűségi sejtautomata
Sorbanállás-elmélet
Sorbanállás
Valószínűségi mező
Gauss-féle valószínűségi tér
Markov-féle valószínűségi tér
Folytonos mintavételi folyamat
Állandó valószínűségi folyamat
Sztochasztikus kalkulus
Itó-kalkulus
Malliavin-kalkulus
Szemimartingál
Stratonovich-integrál
Sztochasztikus differenciálegyenlet
Távíró folyamat
Idősorok
Wald-martingál
Wiener-folyamat
***
A Weibull-eloszlás (https://hu.wikipedia.org/wiki/Weibull-eloszl%C3%A1s) a megbízhatósági számításoknál általánosan használt, még a következő területeken alkalmazzák:
Túlélés-analízis
Hibananalizis
Ipari termelésnél (szállítási idők stb.)
Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás)
Hibananalizis
Ipari termelésnél (szállítási idők stb.)
Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás)
Megbízhatóságelmélet
Extrémérték-elmélet
Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál)
Általános (nem élet-) biztosításoknál
Technológiaváltozásoknál
Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése)
Granulált részecskék méretének becslésénél.
Extrémérték-elmélet
Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál)
Általános (nem élet-) biztosításoknál
Technológiaváltozásoknál
Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése)
Granulált részecskék méretének becslésénél.
Adatközpontok megbízhatósága: hogy egy elem meghibásodása ne okozza az egész adatközpont kiesését, a rendszer minden elemét megkettőzik, beleértve a tartalékrendszereket is. A kritikus fontosságú szervereket mindkét áramforráshoz csatlakoztatni kell. Az amerikai szabványügyi hivatal (ANSI) által elfogadott szabvány írja le az adatközpontok elfogadható szolgálatkiesési idejeit perc/év egységben. A dokumentum 4 szintet határoz meg, a legegyszerűbb szint (Tier 1) ta szerverszoba, amely a számítógépes rendszerek telepítésének és üzemeltetésének alapvető irányelveit követi. A legszigorúbb elvárásokat a negyedik szintű (Tier 4) adatközpontok kapták, amely kritikus fontosságú számítógépes rendszereket üzemeltet redundáns alrendszerekkel és zárt biztonsági zónákkal. A magyar Informatikai, Távközlési és Elektronikai Vállalkozások Szövetség által elfogadott rendelkezésreállasi szintek: a Tier 1 nevű szinthez 99,67%, a Tier 2 szinthez 99,75%, a Tier 3-hoz 99,98% és a Tier 4-hez 99,99% rendelkezésre állást követel meg, azaz például a Tier 4-hez kétszer annyi kiesést engedélyez, mint a Santa Fé-i (USA) Uptime Institute definíciója. Bár a 99,671%, a 99,741%, a 99,982% és a 99,995% látszólag nem sokban térnek el egymástól, lényeges különbséget jelent.
A Santa Fé-i Uptime Institute az alábbiak szerint határozta meg a 4 megbízhatósági, meghibásodási szintjét:
|
Szint |
Elvárások |
|---|---|
|
Első szint (Tier 1) |
|
|
Második szint (Tier 2) |
|
|
Harmadik szint (Tier 3) |
|
|
Negyedik szint (Tier 4) |
|
A Santa Fé-i Uptime Institute az alábbi megengedett mennyiségű szolgáltatáskiesést engedélyezi a különböző szintek egy év (525600 perc) alatt:
-
Az első réteg 99,671% elérhetősége 1729,224 perc (~28 óra 49 perc) szolgáltatáskiesést engedélyez évente
-
A második réteg 99,741% elérhetősége 1361,304 perc (~22 óra 41 perc) kiesést engedélyez
-
A harmadik réteg 99,982% elérhetősége 94,608 perc (~1 óra 34 perc) kiesést engedélyez
-
A negyedik réteg 99,995% elérhetősége 26,28 perc kiesést engedélyez.