VÉLETLEN SZÁMOK, VÉLETLEN RÉSZSOROZATOK, MINTÁZATOK KIOLVASÁSA
(2023)
Független sorozatok származtatása
Függetlenség: az elemi események halmaza páronként független, ha két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségeinek szorzata. Egy másik meghatározás szerint egy esemény feltételes valószínűsége az esemény valószínűségével egyenlő. A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak. Sorozatok esetén az elemi események ismétlődnek, ekkor a függetlenség definicíója: ha az új elem (vagy elemek) csak a legutolsó elemtől függ és az előző elemektől független, akkor sorozat Markov folyamat. Amennyiben az új elem az utolsó elemtől -és megelőző elemektől is- független, akkor sorozatot örökifjú sorozatnak (https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g) nevezzük. Bizonyított, hogy az utóbbi esetben a sorozat diszkrét esetben geometriai eloszlású, és folytonos esetben exponenciális eloszlású. A diszkrét esetet fogjuk vizsgálni.
Ha az elemi események száma b - ami sorozatok esetén lehet egy számrendszer alapszáma-, továbbá az események egyenlő, 1/b valószínűségűek, akkor a független elemi események valamely tetszőleges sorrendű, azaz mintázatú kmax hosszú független sorozatának valószínűsége:
(b-1)/b 1/bkmax - 1
és a sorozat hosszának várható értéke b/(b-1). A várható értékek létezésének feltétele, hogy kmax megszámlálhatóan végtelen legyen, a valószínűségek összege ekkor 1 – b-kmax = 1. Nem megszámlálható esetben érdekes speciális mesterséges sorozatokat, egyben bizonyítottan irracionális számokat kapunk: pl. a természetes számokat egymás után írva a Champernowne számot, https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html, vagy a prímszámokat (ami az Erdős-Copeland féle szám), amikor a valószínűségek divergálnak, a várható érték nem becsülhető.
Állítás
Amikor az (b-1)/b 1/bkmax - 1 valószínűségeket relatív gyakoriságokkal becsüljük: a becslések konvergenciasebességét összehasonlítva e, pi, a prímeket egymás után írva, stb. és a Champernowne szám esetén, akkor a Champernowne szám esetén a leggyorsabb a konvergenciasebesség, minden esetben 1/k szerinti. b = 2 esetén a leggyorsabb.
******************
Nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a Haar mérték (https://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure) bináris esetben véges, azaz normálható mérték, tehát legyen b = 2. A Haar mérték kiszámítása bonyolult, de lényeges állítás, hogy bináris esetben létezik normálható mérték, és az a Haar mérték. Nem megszámlálhatóan végtelen sorozatok esetén a számtani közép és a gyakoriságok divergálnak.
Érdekesség, hogy homogén sorozatok kiolvasása esetén a szinglik gyakorisága nem (b-1)/b, hanem (b-1)2/b2 a kiolvasás módja miatt, bináris esetben 1/4.
Legyen a páros számjegyek indikátor változója 1, az páratlanoké 0 a bináris Champernowne szám esetén, https://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html: ekkor egy nem megszámlálhatóan végtelen 010101... indikátorsorozatot kapunk, a sorozat szabályos. Szabályos pl. az 101100111000... irracionális sorozat is, melyekre P(0) = P(1) = 0.5.
Egy másik probléma: a nulla-egy átmeneteket jelöljük 1-esekkel, az egy-nulla átmeneteket jelüljük 0-val, az indikátor sorozat ekkor is 1,0,1,0,1, . Az ismétlődő szakaszok miatt a várható értékek, valószínűségek becsléshez nem szükséges a számtani közép számítása. Általánosan: amennyiben egy tulajdonsághoz racionális tört - azaz ismétlődő véges hosszúságú- indikátor sorozatot vagy szabályos indikátor sorozatot sikerül rendelnünk, akkor a nem megszámlálhatóan végtelen (bináris) halmazhoz egy véges mérték rendelhető, ha a tulajdonság a halmaz minden elemére vagy igaz vagy nem igaz: a becsült mértéket a tulajdonság Haar mértékének gondoljuk.