Abstract
This study examines the properties of sequences of random digits—uniformly distributed over the interval [0, 1]—within the context of base b, encompassing both truly random and pseudorandom sequences. A new finding involves the refinement of the concept of "block-Borel normality" for countably infinite sequences: these sequences exhibit a memoryless, geometric distribution, wherein the asymptotic frequency of any given pattern of length L converges to (b-1)/bL. This approach establishes a new foundation for conducting chi-squared goodness-of-fit tests. Furthermore, by leveraging the theoretical extremal property of the Champernowne constant, a measure of discrepancy can be defined; the convergence and quality of empirical base b sequences can thus be assessed by calculating their stochastic distance from the ideal geometric distribution represented by the Champernowne constant.
Kivonat: A tanulmány a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású véletlen számjegyű sorozatok tulajdonságait vizsgálja, b-alapú (b ≥ 2) valódi véletlen és pszeudovéletlen számsorozatok esetén. Új eredmény a megszámlálhatóan végtelen sorozatok blokk-Borel-normalitásának pontosítása: a sorozatok örökifjú geometriai eloszlásúak, ahol egy tetszőleges L hosszúságú mintázat, az aszimptotikus gyakoriságok (b-1)/bL értékekhez konvergálnak. A Champernowne-konstans (C₁₀) elméleti szélsőérték-tulajdonsága alapján az eltéréseki egy mértéke (discrepancy) meghatározható, az empirikus b-alapú sorozatok konvergenciája és minősége mérhető a Champernowne-konstans ideális geometriai eloszlásától vett stochasztikus távolsággal.
Kulcsszavak: Borel-normalitás, b-alapú pszeudovéletlen sorozatok, valódi véletlenszám-generátorok (TRNG), örökifjú tulajdonság, geometriai eloszlás, Champernowne-konstans, eltérési mérték (discrepancy).
A b alapú valódi véletlen számok legfontosabb matematikai tulajdonságai: független örökifjú (!) sorozatok megszámlálhatóan végtelen esetben, a számjegyeik eloszlása 1/b.
1. Borel-normális számok: a jegyek eloszlása 1/b, és a mintázatok eloszlása egyenletes minden b alap esetén.
Borel-féle tétel: majdnem minden valós szám Borel-normális, és a mintázatok eloszlása egyenletes minden b alap esetén. Egy adott számsorozatra bizonyítani nehéz. A matematika mai állása szerint sok ismert matematikai konstansról (π, e, 21/2, ln 2) csak sejtik, de nem tudják, hogy normális számok-e.
Ha egy [0, 1] intervallumban a valós számot b számrendszer beli törtként írunk fel, akkor a matematikai véletlenszerűség megköveteli, hogy a szám Borel-normális legyen a b alapra nézve. A számjegyek egyenletes eloszlása 1/b és
a "blokk Borel-normalitás": nemcsak az egyes számjegyek, hanem bármely L hosszúságú mintázat, számjegyblokk (pl. a "101" sorozat, b = 2) előfordulási valószínűsége b-L az együttes előfordulás szerint, de sorozatban örökifjú: (b-1)/bL.:
Megjegyzés (M1): a blokk Borel-normalitás pontosítása (új eredmény)
Állítás (A1.): A megszámlálhatóan végtelen Borel-normális sorozatok örökifjú sorozatok.
Az örökifjú tulajdonság, az emlékezetnélküliség a valószínűségszámításban azt jelenti, hogy egy folyamat vagy esemény bekövetkezésének a jövőbeli ideje teljesen független attól, hogy mennyi idő telt el a múltban. Annak a valószínűsége, hogy a bekövetkezési idő hosszabb lesz, mint a+b (feltéve, hogy már kivártuk az a időt), pontosan megegyezik azzal a valószínűséggel, mintha az elejétől kezdve próbálnánk kivárni a b időt. Diszkrét esetben a geometriai, folytonos esetben az exponenciális eloszlás örökifjú eloszlások.
A2.: A megszámlálhatóan végtelen Borel-normális sorozatok örökifjú, geometriai eloszlásúak: (b-1)/bL eloszlással. A b-1 szorzóról: ahhoz, hogy egy adott k hosszúságú mintázat egy adott helyen kezdődjön el először (vagy egy korábbi mintázat után újrakezdődjön), a mintázatot megelőző számjegy nem egyezhet meg a mintázat első számjegyével, ami b-1 féle módon lehetséges. A mintázat első jegyét nem számíthatjuk be egy korábbi, már leszámolt mintázatba.
A3.: L = 1,2,....∞, és az összegük egységnyi. Az egységnyi hosszú sorozatok gyakorisága (b-1)/b, egyben az eloszlás paramétere is (b-1)/b = 1 - 1/b.
M2.: Ha b = 2, a nem megszámlálhatóan végtelen esetben a Haar-mérték normálható. (Egy lokálisan kompakt topologikus csoporton létező Haar-mérték, legyen az bal- vagy jobb-Haar-mérték, akkor és csak akkor normálható, -akkor tehető valószínűségi mértékké, ahol a teljes tér mértéke 1-, ha a csoport kompakt.)
M3.: Teszt - a számjegyek 1/b gyakorisága mellett- a khí-négyzet illeszkedésvizsgálat egy L hosszú tetszőleges mintázat geometriai eloszlására, azaz (b-1)/bL gyakoriságára is.
A4.: A Champernowne-konstans (C₁₀) szélsőérték tulajdonsága: legjobb a khí-négyzet teszt érték a számjegyekre, mintázatokra. A C₁₀ esetén a számjegyek és a mintázatok előfordulási gyakoriságai véletlen kitérők nélkül konvergálnak az elméleti értékekhez. A C₁₀ a legegyszerűbb és legismertebb bizonyítottan normális szám a 10-es számrendszerben, amit úgy kapunk, hogy a pozitív egész számokat egymás után írjuk a tizedesvessző után: C₁₀ = 0,12345678910111213141516... A szám normális a 10-es számrendszerben, de más számrendszerekben nem feltétlenül.
M4.: Ismert további normális számok: az Copeland–Erdős-konstans a 10-es számrendszerben, ahol a prímszámokat írjuk egymás után: CCE = 0,23571113171923293137...\), továbbá a Korobov-számok és Stoneham-számok, melyek speciálisan konstruált racionális törtek végtelen összegei, és amelyeknél bizonyos számrendszerekben módon igazolható a normálisság. Például a Stoneham-konstans bizonyítottan normális a 2-es számrendszerben (de nem ismert, hogy normális-e 10-esben), továbbá a Sierpiński-féle bonyolult konstrukció. A π-ről, az e-ről és az ln 2 -ről a számítógépes statisztikai elemzések alapján (több billió számjegyig elszámolva) normálisak, de matematikai bizonyítás egyikre sincsen.
Eltérési mérték (Discrepancy)
A matematikai statisztikában a b -alapú sorozatok jóságát az eltéréssel (discrepancy) mérik. Azt mutatja, hogy a generált pontok mennyire térnek el az elméleti eloszlástól. A b -alapú sorozatok konvergenciáját, jóságát mérhetjük a Champernowne-konstans sorozatainak konvergenciájától mért eltéréssel: a Kullback–Leibler-divergencia (gyakran KL-divergencia vagy relatív entrópia néven) egy információ- és valószínűségelméleti mérőszám, amely azt mutatja meg, hogy mennyi információ veszik el, amikor egy Q valószínűségeloszlás segítségével közelítünk egy másik, referenciaszintű P eloszlást (https://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence).
Léteznek alacsony eltérésű sorozatok (kvázi-random sorozatok): Ide tartoznak a Halton- vagy Sobol-sorozatok, amelyek nem a klasszikus értelemben vett "véletlenek", hanem úgy épülnek fel különböző b prím alapokon, hogy a térben a lehető legegyenletesebben oszoljanak el. Ezeket előszeretettel használják Quasi-Monte Carlo integrálásra.
Következtetés
A megszámlálhatóan végtelen Borel-normális sorozatok örökifjú, geometriai eloszlású valódi véletlen számok. A b -alapú sorozatok gyakoroságainak konvergenciáját, jóságát mérhetjük a Champernowne-konstans sorozatainak konvergenciájától mért eltéréssel.
