Ha X ≥ 0 valós valószínűségi változó, E(X) várható értéket jelöl, akkor ε > 0 esetén:
P {X ≥ ε } ≤ E [X] / ε .
I. Egy további változatot kapunk, ha az εparaméter helyére az ε D[X] mennyiséget, a szórás ε-szorosát helyettesítjük (azaz ε D[X] → ε, vagy az X/D[X] relatív változó helyettesítésével): P {X ≥ ε D [X] } ≤ E [X] / ε D [X]. Az E [X]/D [X] relatív várható érték arányos az eloszlás várható érték körüli információtartalmával (csúcsosságával), ezért kisebb szórású valószínűségi változókra nagyobb valószínűséget, és kisebb εD [X] küszöb értéket kapunk. A relatív várható értékre vonatkozó változat átírható az alábbi alakba:
P {X/D [X] ≥ ε } ≤ E [X] / ε D [X] . Az Y = X/D [X] változóra igaz, hogy D [Y] = 1.
II. Egy másik változat (https://en.wikipedia.org/wiki/Markov%27s_inequality) szerint, ha ε = λ E [X] , akkor: P {X ≥ λ E [X] } ≤ 1/λ.
III. Tekintsuk az X → helyettesítést, amikor a Csebisev-egyelőtlenséget kapjuk, és a Var (X) = D 2(X) jelöléssel egy a konstanssal:
IV. Továbbá a λ2 Var (X) → a2 helyettesítéssel kapjuk, hogy P { abs (X - E(X)) ≥ λ D(X) } ≤ 1 /λ2, azazP { Z ≥ λ } ≤ 1/λ2 , ahol Z standardizált véletlen változót jelöl.
| k | Min. % within k standard deviations of mean | Max. % beyond k standard deviations from mean |
|---|---|---|
| 1 | 0% | 100% |
| √2 | 50% | 50% |
| 1.5 | 55.56% | 44.44% |
| 2 | 75% | 25% |
| 2√2 | 87.5% | 12.5% |
| 3 | 88.8889% | 11.1111% |
| 4 | 93.75% | 6.25% |
| 5 | 96% | 4% |
| 6 | 97.2222% | 2.7778% |
| 7 | 97.9592% | 2.0408% |
| 8 | 98.4375% | 1.5625% |
| 9 | 98.7654% | 1.2346% |
| 10 | 99% | 1% |
V. A Cantelli egyenlőtlenség élesebb mint az eddigi egynlőtlenségek: (https://en.wikipedia.org/wiki/Cantelli%27s_inequality ) vagy λσ→ λ helyettesítéssel kapjuk, hogy P { Z ≥ λ } ≤ 1/ (1 + λ2), a standardizált változóra érvényes alakot.
![{\displaystyle \Pr(X-\mathbb {E} [X]\geq \lambda )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd73c057659174a53a933f0330415148ecf7bd6)
A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak. Sorozatok esetén az elemi események ismétlődnek, ekkor a függetlenség definíciója a sorozatok elemeire: ha egy új elem csak a legutolsó elemtől függ és az előző elemektől független, akkor sorozat Markov folyamat. Amennyiben az új elem az utolsó elemtől -és megelőző elemektől is- független, akkor sorozatot örökifjú sorozatnak (https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g) nevezzük. Bizonyított, hogy az utóbbi esetben a sorozat diszkrét esetben geometriai (skatulyázott Bernoulli) eloszlású, folytonos esetben pedig exponenciális eloszlású.
Példák az eloszlásokra diszkrét esetben: ha az elemi események száma b - ami sorozatok esetén lehet egy számrendszer alapszáma-, továbbá az események egyletes eloszlású, 1/b valószínűségűek, akkor a független elemi események valamely tetszőleges sorrendű, azaz mintázatú k hosszú független sorozatainak - azaz a véletlen számok sorozatainak- valószínűségei geometriai eloszlásúak:
(b-1)/b 1/bkmax - 1,
és a sorozat paramétere (b-1)/b, aminek a reciroka a sorozatok hosszának várható értéke b/(b-1), a paraméter reciprok értéke. A várható értékek létezésének feltétele, hogy kmax megszámlálhatóan végtelen legyen, a valószínűségek összege ekkor 1 – b-kmax = 1. A geometriai eloszlás entropiája a maximális az exponenciális eloszlások között.
Definíció: a csúcsosság σ4/μ4 értékű, ahol μ4 a negyedik momentumot jelöli, a csúcsosság a lapultság reciproka.
A csúcsosság értéke 1/3 normális eloszlásnál, 5/9 egyenletes eloszlásnál és 5/6 exponenciális eloszlásnál, 1/6 Laplace-eloszlásnál (https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution), és (1 - p) / (4 - 6p + 3p 2) Bernoulli-eloszlásnál, (1 - p)/ (p2 - 9p + 9) geometriai eloszlásnál (https://mathworld.wolfram.com/GeometricDistribution.html), (1 - p)/[6 + p2/(1-p)] logisztikus eloszlásra, 5/16 logisztikus eloszlásra, λ/(1 + 3λ) Poisson-eloszlásra.