Ha csak P(B), P(A|B) és P(B|A) ismert, akkor A valószínűsége:

${\displaystyle P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\overline{B})P(\overline{B}),}$

ahol ${\displaystyle \overline{B}}$ a B esemény komplementerét jelöli, azaz P(A) = P(AB) + P(A).

A Bayes-tétellel kiszámítható az egyik feltételes valószínűség a másik feltételes valószínűség és a nem feltételes valószínűségek segítségével:

${\displaystyle P(A\mid B)=P(B\mid A)\frac{P(A)}{P(B)}.}$

Részletesen a függetlenségről:

A statisztikai függetlenség és a kauzális függetlenség két különböző dolog. A statisztikai függetlenség valószínűségi mértékek és események absztrakt tulajdonsága, ami szimmetrikus,  (https://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCggetlen_esem%C3%A9nyek), és ami nem teljesül az oksági függetlenségre. Statisztikai vizsgálatoknál két esemény együttes valószínűsége,  P(AB) nem adott. Hipotézisvizsgálatot  a χ²-próbával lehet elvégezni. 

Az események függetlensége általánosítható halmazrendszerek függetlenségére, ami valószínűségi változókra is kiterjeszthető. Feltételes várható érték használatával mindezek feltételes függetlensége is definiálható. Az események függetlensége szimmetrikus tulajdonság. Beszélhetünk A és B események függetlenségéről. A függetlenség nem azonos a diszjunktsággal, a diszjunkt események csak akkor függetlenek, ha egyikük valószínűsége 0 vagy 1.

Függetlenség és hatás-függőség

Dobjunk két kockával, legyen az ${\displaystyle A}$ esemény, hogy az első kocka páros számot mutat, a ${\displaystyle B}$ esemény, hogy a dobott számok összege páros! Ekkor ${\displaystyle P(A)=P(B)=\frac{1}{2}}$ és P(AB) = 1/4, a két esemény független, de ${\displaystyle B}$  függ ${\displaystyle A}$-tól, mivel az első kockával kidobott szám hozzájárul az összeghez.

Függetlenség, mint hatás-függetlenség

Dobjunk két kockával, legyen az ${\displaystyle A}$ esemény, hogy az első kockával 6-ot dobunk, a ${\displaystyle B}$ esemény, hogy a második kockával 6-ot dobunk! Ekkor ${\displaystyle P(A)=P(B)=\frac{1}{6}}$ és P(AB) = P(A) P(B) = 1/36, a két esemény független, és hatás- függetlenek, és az is igaz, hogy P(A) = 

Összefüggés és hatás-függés

Dobjunk egy érmével kétszer, legyen az ${\displaystyle A}$ esemény, hogy mindkétszer fejet dobunk, a ${\displaystyle B}$ esemény, hogy az első dobás írás! Ekkor ${\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}}$ és ${\displaystyle P(B)=\frac{1}{2}}$, viszont P(AB) = 0. Az események diszjunktak, összefüggőek és hatás-függőek.

A korreláció méri két tetszőleges érték közötti lineáris kapcsolat erősségét. A korrelálatlanság nem feltétlenül jelent függetlenséget, de bizonyos, hogy nincs az értékek között lineáris összefüggés. Ha két véletlen mennyiség korrelációja nulla, amikor korrelálatlanok, és a kapcsolatot feltételes valószínűségekkel írjuk le.

A normális eloszlású valószínűségi változókra jellemző, hogy ha korrelálatlanok, akkor függetlenek is. A zérus várható értékű egyenletes eloszlású valószínűségi változók  szórásai (és terjedelmei) tetszőleges értékűek lehetnek, azaz függetlenek, ha a terjedelmek szimmetrikusak az origóra. A korreláció függvény alkalmas a fehér vagy normális eloszlású forrás zajú -melyek a folyamatokat generáló zajok- folyamatok változói közötti lineáris kapcsolat erősségének elemzésére, ezek az ARMA modellek, más alakban az állapotteres folyamatmodellek.  

A feltételes várható értéket a valószínűségszámításban (https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation) a feltételes valószínűség definiálására is használják. A feltételes várható érték lehet valószínűségi változó vagy függvény, amelyet feltételes valószínűségi eloszlás segítségével számítanak, vagy a folyamat jövőjéből képzett vektorának a folyamat múltjára történő vetítésével, pl. a realizációelméletben, és a káoszelméletben zérus, esetleg konstans. Ha a valószínűségi változó csak véges számú értéket vehet fel, akkor a "feltétel" az, hogy a változó ezeknek az értékeknek csak egy részhalmazát veheti fel. Formálisan, abban az esetben, ha a valószínűségi változó egy diszkrét valószínűségi téren lett definiálva, a "feltételek" ennek a valószínűségi térnek a partíciói. A Kálmán-szűrőnél, az ARMA prediktornál, amelyek feltételes várhatóértékeket számítanak: a jelekről feltesszük, hogy zérus várható értékűek, és bizonyítható, hogy amennyiben a zajok független normális, azaz fehér Gauss-folyamatok, illetve fehér zajok, azaz független egyenletes eloszlású zajfolyamatok, akkor Kálmán-szűrő, az ARMA prediktor becslései optimális legkisebb négyzetes LSQ) becslések, és az LSQ, MLH és Bayes becslések egybeesnek. Egyenletes eloszlásnál zérus várható érték esetén a  szórásnégyzet (és az origóra szimmetrikus terjedelem) tetszőleges értékű lehet.   

 

Függetlenség halmazokon: az elemi események halmaza páronként független, ha két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségeinek szorzata, vagy egy másik meghatározás szerint: egy esemény feltételes valószínűsége az esemény valószínűségével egyenlő. A páronkénti függetlenség általánosabb feltétel mint egy halmaz elemeinek a függetlensége.  

A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak.

A sorozatokban az elemi események ismétlődnek, ekkor a függetlenség definíciója: ha egy esemény (vagy elemek) bekövetkezése csak a legutolsó eseménytől, elemtől függ, és az előzőektől független, akkor sorozat Markov folyamat. Ha egy esemény (vagy elem) bekövetkezése nem függ sem a múltjától, sem a jelenétől, akkor az örökifjú folyamat, amely nem megjósolható, memória nélküli kaotikus folyamat, és exponenciális vagy geometriai eloszlású (memorylessness_ang, 

https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g).

Azaz: a kaotikus, megjósolhatatlan rendszerek esetén a rendszerleírásra használt eloszlások a normális, az egyenletes, a geometriai és az exponenciális eloszlások, továbbá az ezekből származtatott eloszlások, folyamatok. Mert normális eloszlásnál a várható érték és a szórásnégyzet független mennyiségek, az egyenletes eloszlásnál, ha zérus a várható érték, a szórás és a terjedelem értéke tetszőleges lehet. A geometriai és az exponenciális örökifjú, memória nélküli tulajdonságúak, azaz a folyamat jövője független a folyamat jelenétől és a múltjától.

 

A Markov folyamatoknál csak a folyamat jelenétől függ a folyamat jövője. A  Markov-folyamat kifejezés egy sztochasztikus folyamat részleges emlékezet nélküli tulajdonságára utal, ami azt jelenti, hogy a jövője független a korábbi történetétől, csak a jelenétől függ. Nevét Andrej Markov orosz matematikusról kapta. Az erős Markov-tulajdonságnál a „jelen” jelentését egy leállási időként ismert valószínűségi változóval határozzuk meg. A Markov féle véletlen mező kiterjeszti a tulajdonságot két vagy több dimenzióra. A Markov-lánc egy olyan diszkrét sztochasztikus folyamat, melynél adott jelenbeli állapot mellett a rendszer jövőbeni állapota nem függ a múltbeli állapotoktól. Azt is jelenti, hogy a jelen állapot leírása teljesen magába foglalja az összes olyan információt, ami befolyásolhatja a folyamat jövőbeli helyzetét. A rendszer korábbi állapotai a későbbi állapotokra csak a jelen állapoton keresztül gyakorolhatnak befolyást, adott jelen mellett a jövő feltételesen független a múlttól. A. Markov rájött arra, hogy a folyamatok függetlensége általánosabb fogalom, mint az események függetlensége az idő szerepe miatt, ezért a legáltalánosabb függetlenség fogalom az örökifjú folyamatok függetlensége(memorylessness_ang,

https://en.wikipedia.org/wiki/Memorylessness) a függetlenség miatt, továbbá a Markov féle egy lépéses függés. Az ok-okozati kapcsolat, a kauzalitás állítása, nem azonos az egy valószínűségű állításokkal. Mert az egy valószínűségű állítás nem biztos állítás, ahogy a 0 valószínűségű esemény sem lehetetlen esemény, ezért a klaszikus, kauzális világunk, nem határesete a valószínűségszámításnak.  

 

 A megengedő vagy kapcsolat (diszjunkció) akkor igaz, ha az A és B állítások közül legalább az egyik igaz. A kizáró vagy (antivalencia) akkor igaz, ha az állítások közül csak az egyik igaz, a kettő együtt nem lehet igaz.

A megengedő vagy kapcsolat (diszjunkció) logikai művelet azt jelenti, hogy a két állítás közül legalább az egyiknek igaznak kell lennie ahhoz, hogy az összetett állítás igaz legyen. Az állítások lehetnek függetlenek. Példa: "Tegnap esett az eső vagy fagy volt." Ez az állítás akkor is igaz, ha csak esett, ha csak fagy volt, és akkor is, ha egyszerre mindkettő volt.
Kizáró vagy kapcsolat (antivalencia) logikai művelet: azt jelenti, hogy az összetett állítás csak akkor igaz, ha a két állítás közül kizárólag az egyik igaz, a kettő együtt nem. Az állítások nem függetlenek, kizárják egymást antivalens esetben (a kizárt harmadik problémája). Példa: "Most vagy kerékpározom, vagy úszom." Ez az állítás nem igaz, ha egyszerre csinálná mind a kettőt, és egy harmadik sportot nem csinál.