A Markov-egyenlőtlenség változatai

Ha X ≥ 0 valós valószínűségi változó, E(X) várható értéket jelöl, akkor ε > 0 esetén:

P {X ≥ ε } ≤ E [X] / ε .

I. Egy további változatot kapunk, ha az εparaméter helyére az ε D[X] mennyiséget, a szórás ε $-szorosát helyettesítjük (azaz ε D[X] \to ε,$ $vagy az X/ D[X] relatív változó helyettesítésével):$ P {X ≥ ε $D$ [X] } ≤ E [X] / ε D [X]. Az E [X]/D [X] relatív várható érték arányos az eloszlás várható érték körüli információtartalmával (csúcsosságával), ezért kisebb szórású valószínűségi változókra nagyobb valószínűséget, és kisebb εD [X] küszöb értéket kapunk. A relatív várható értékre vonatkozó változat átírható az alábbi alakba:

P {X/D [X] ≥ ε $} \leq E [X] / ε D [X] .$ $Az Y = X/D [X] változóra igaz, hogy$ D[Y] = 1.

II. Egy másik változat (https://en.wikipedia.org/wiki/Markov%27s_inequality) szerint, ha ε = λ $E [X], akkor: P {X \geq λ E [X]} \leq 1/ λ.$

III. Tekintsuk az X → $(X-\operatorname {E}(X))^{2}$ helyettesítést, amikor a Csebisev-egyelőtlenséget kapjuk, és a Var (X) = D ²(X) jelöléssel egy a konstanssal:

\operatorname {P} ((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}.

IV. Továbbá a $λ 2 Var (X)$ → a² helyettesítéssel kapjuk, hogy P { abs (X - E(X)) ≥ $λ$ D(X) } ≤ 1 / $λ$ ², azazP { Z ≥ $λ$ } ≤ 1/ $λ$ ², ahol Z standardizált véletlen változót jelöl.

k	Min. % within k standard deviations of mean	Max. % beyond k standard deviations from mean
1	0%	100%
√2	50%	50%
1.5	55.56%	44.44%
2	75%	25%
2√2	87.5%	12.5%
3	88.8889%	11.1111%
4	93.75%	6.25%
5	96%	4%
6	97.2222%	2.7778%
7	97.9592%	2.0408%
8	98.4375%	1.5625%
9	98.7654%	1.2346%
10	99%	1%

(c.f. https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_inequality)

V. A Cantelli egyenlőtlenség élesebb mint az eddigi egynlőtlenségek: (https://en.wikipedia.org/wiki/Cantelli%27s_inequality ) $\Pr(X-\mathbb {E} [X]\geq \lambda )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}},$ $vagy λ σ$ $\to λ helyettesítéssel kapjuk, hogy$ P { Z ≥ $λ$ } ≤ 1/ (1 + $λ$ ²), a standardizált változóra érvényes alakot.

A Cantelli-egyenlőtlenségben a D ² (z²)

\to λ 2 helyettesítéssel kapjuk a

P { Z ≥ D [ Z²] } ≤ 1/κ alakot, ahol κ = D ² (Z²) + 1, a lapultság standardizált változók esetén. Az egyenlőtlenség a nulla várható értékű korrelálatlan zaj folyamatok vizsgálatakor lehet hasznos.

*

A szimmetrikus eloszlások páratlan rendű centrális momentumai nullák, mivel az összegben a várható értéknél kisebb értékekből számított tagok és a várható értéknél nagyobb értékekből számított tagok kiejtik egymást.

Normális és az egyenletes eloszlások - melyek a várható érték körül szimmetrikus sűrűségfüggvényű abszolút folytonos eloszlások- összevetése: az N (M(η), D² (η)) normális eloszlás esetén az η valószínűségi változó 0.99730 valószínűséggel esik az M(η) várható érték 3 D (η) szélességű környezetébe, ekkor a terjedelme T = 6 D (η) (Prékopa, i.m. 224.o.). Annak az egyenletes eloszlású valószínűségi változónak, amelyiknek a várható értéke M(η) és a terjedelme T = 6 D (η) értékű, a szórásnégyzete T²/12 = 3 D² (η), azaz egyenletes U(M(η), 3 D² (η)) eloszlású: a szórásnégyzete háromszorosa a normális eloszlás szórásnégyzetének. M(η) és D (η) csak a normális esetben független valószínűségi változók: egy fontos gyakorlati esetben, amikor M(η) = 0, akkor az egyenletes eloszlás szórásnégyzete független, ami a Kálmán-szűrő esetén fontos állítás.

**

A függetlenség: az elemi események halmaza páronként független, ha két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségeinek szorzata. Egy másik meghatározás: ha egy esemény feltételes valószínűsége az esemény valószínűségével egyenlő, ellenkező esetben az esemény feltételes várható értékére vonatkozóan ld. a Kálmán-szűrőt (https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter).

A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak. Sorozatok esetén az elemi események ismétlődnek, ekkor a függetlenség definíciója a sorozatok elemeire: ha egy új elem csak a legutolsó elemtől függ és az előző elemektől független, akkor sorozat Markov folyamat. Amennyiben az új elem az utolsó elemtől -és megelőző elemektől is- független, akkor sorozatot örökifjú sorozatnak (https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g) nevezzük. Bizonyított, hogy az utóbbi esetben a sorozat diszkrét esetben geometriai (skatulyázott Bernoulli) eloszlású, folytonos esetben pedig exponenciális eloszlású.

Példák az eloszlásokra diszkrét esetben: ha az elemi események száma b - ami sorozatok esetén lehet egy számrendszer alapszáma-, továbbá az események egyletes eloszlású, 1/b valószínűségűek, akkor a független elemi események valamely tetszőleges sorrendű, azaz mintázatú khosszú független sorozatainak - azaz a véletlen számok sorozatainak- valószínűségei geometriai eloszlásúak:

(b-1)/b 1/b^{kmax - 1},

és a sorozat paramétere (b-1)/b, aminek a reciroka a sorozatok hosszának várható értéke b/(b-1), a paraméter reciprok értéke. A várható értékek létezésének feltétele, hogy k_max megszámlálhatóan végtelen legyen, a valószínűségek összege ekkor 1 – b^-kmax = 1. A geometriai eloszlás entropiája a maximális az exponenciális eloszlások között.

Az exponenciális eloszlás esetén: az η ≥ 0 esetén a μ várható értékű folytonos valószínűségi eloszlások közül a λ = 1/μ értékű exponenciális eloszlás rendelkezik a legnagyobb differenciális entrópiával. Az exponenciális eloszlás a legnagyobb entrópiájú valószínűségi eloszlás η véletlen változóra, amely nagyobb vagy egyenlő nullánál, és amelyre E(η) rögzített (https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution). Az enrópia maximumát nem helyettesíti a csúcsosság, ami a lapultság reciproka, de egyszerűbben számítható.

Definíció: a csúcsosság σ⁴/μ₄értékű, ahol μ₄ a negyedik momentumot jelöli, a csúcsosság a lapultság reciproka.
A csúcsosság értéke 1/3 normális eloszlásnál, 5/9 egyenletes eloszlásnál és 5/6 exponenciális eloszlásnál, 1/6 Laplace-eloszlásnál (https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution), és (1 - p) / (4 - 6p + 3p ²) Bernoulli-eloszlásnál, (1 - p)/ (p²- 9p + 9) geometriai eloszlásnál (https://mathworld.wolfram.com/GeometricDistribution.html), (1 - p)/[6 + p2/(1-p)] logisztikus eloszlásra, 5/16 logisztikus eloszlásra, λ/(1 + 3λ) Poisson-eloszlásra.