A Markov-egyenlőtlenség változatai a mérnöki gyakorlatban
 
 (2023 április)
 
 
 
 
ABSTRACT
A  Markov-egyenlőtlenség élessége általánosan nem függ a viszonyítási paraméter megválasztásától, de speciális választás, a várható érték abszolut értékének és a szórás aránya, hasznos lehet. 
A Markov-egyenlőtlenség változatai
Az egyenlőtlenség annak a valószínűsége, hogy egy X valószínűségi változó értéke nagyobb mint egy megadott ε  küszöbérték. Két normális
(vagy egyenletes) eloszlás összehasonlításánál az ε  viszonyítási paraméter alkalmas megválasztása  a Markov egyenlőtlenségekben alkalmas
eszköz lehet az információ tartalom értékelésére. 

Ha X  ≥ 0 valós valószínűségi változó, E(X) várható értéket jelöl, akkor ε  >  0 esetén:

                                                                                   P {X  ≥  ε } ≤  E [X] / ε   .

I. Egy további változatot kapunk, ha az  εparaméter helyére az    ε D[X]  mennyiséget, a szórás  ε-szorosát helyettesítjük (azaz ε D[X] → ε, vagy az X/D[X] relatív változó helyettesítésével):  P {X ≥  ε D [X] } ≤  E [X] / ε D [X].  Az E [X]/D [X] relatív várható érték arányos az eloszlás várható érték körüli információtartalmával (csúcsosságával), ezért kisebb szórású valószínűségi változókra nagyobb valószínűséget, és kisebb  εD [X]  küszöb értéket kapunk. A relatív várható értékre vonatkozó változat átírható az alábbi alakba:

P {X/D [X] ≥ ε } ≤  E [X] / ε D [X] .  Az Y = X/D [X] változóra igaz, hogy D [Y] = 1. 

II. Egy másik változat (https://en.wikipedia.org/wiki/Markov%27s_inequality) szerint, ha ε = λ E [X] , akkor: P {X ≥ λ E [X] } ≤  1/λ. 

III. Tekintsuk az X → helyettesítést, amikor a Csebisev-egyelőtlenséget kapjuk, és a Var (X) = D 2(X) jelöléssel egy a konstanssal:

IV. Továbbá a  λ2 Var (X) → a2 helyettesítéssel kapjuk, hogy P { abs (X - E(X)) ≥ λ D(X) } ≤ 1 /λ2, azazP { Z  ≥ λ } ≤  1/λ, ahol Z  standardizált véletlen változót jelöl. 

 

kMin. % within k standard
deviations of mean
Max. % beyond k standard
deviations from mean
1 0% 100%
2 50% 50%
1.5 55.56% 44.44%
2 75% 25%
22 87.5% 12.5%
3 88.8889% 11.1111%
4 93.75% 6.25%
5 96% 4%
6 97.2222% 2.7778%
7 97.9592% 2.0408%
8 98.4375% 1.5625%
9 98.7654% 1.2346%
10 99% 1%
 

V. A Cantelli egyenlőtlenség élesebb mint az eddigi egynlőtlenségek:  (https://en.wikipedia.org/wiki/Cantelli%27s_inequality )   vagy λσλ helyettesítéssel kapjuk, hogy P { Z ≥ λ } ≤ 1/ (1 + λ2), a standardizált változóra érvényes alakot. 

A Cantelli-egyenlőtlenségben a 2 (z2λ helyettesítéssel kapjuk a  { Z  ≥ D [ Z2}  ≤ 1/κ alakot, ahol κ = 2 (Z2) + 1, a lapultság standardizált változók esetén. Az egyenlőtlenség a nulla várható értékű korrelálatlan zaj folyamatok vizsgálatakor lehet hasznos. 
*
A szimmetrikus eloszlások páratlan rendű centrális momentumai nullák, mivel az összegben a várható értéknél kisebb értékekből számított tagok és a várható értéknél nagyobb értékekből számított tagok kiejtik egymást.
 
Normális és az egyenletes eloszlások - melyek a várható érték körül szimmetrikus sűrűségfüggvényű abszolút folytonos eloszlások- összevetése: az N (M(η), D2 (η)) normális eloszlás esetén az η valószínűségi változó 0.99730 valószínűséggel esik az M(η) várható érték 3 D (η) szélességű környezetébe, ekkor a terjedelme T = 6 D (η) (Prékopa, i.m. 224.o.). Annak az egyenletes eloszlású valószínűségi változónak, amelyiknek a várható értéke M(η) és a terjedelme T = 6 D (η) értékű, a szórásnégyzete T2/12 = 3 D2 (η), azaz egyenletes U(M(η), 3 D2 (η)) eloszlású: a szórásnégyzete háromszorosa a normális eloszlás szórásnégyzetének. M(η) és  D (η) csak a normális esetben független valószínűségi változók: egy fontos gyakorlati esetben, amikor  M(η) = 0, akkor az egyenletes eloszlás szórásnégyzete független, ami a Kálmán-szűrő esetén fontos állítás.
**
A függetlenség: az elemi események halmaza páronként független, ha két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségeinek szorzata. Egy másik meghatározás: ha egy esemény feltételes valószínűsége az esemény valószínűségével egyenlő, ellenkező esetben az esemény feltételes várható értékére vonatkozóan ld. a Kálmán-szűrőt (https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter). 

A nem együttesen bekövetkező, egymás utáni események sorozatot alkotnak. Sorozatok esetén az elemi események ismétlődnek, ekkor a  függetlenség definíciója a sorozatok elemeire: ha egy új elem csak a legutolsó elemtől függ és az előző elemektől független, akkor sorozat Markov folyamat. Amennyiben az új elem az utolsó elemtől -és megelőző elemektől is- független, akkor sorozatot örökifjú sorozatnak (https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%96r%C3%B6kifj%C3%BA_tulajdons%C3%A1g) nevezzük. Bizonyított, hogy az utóbbi esetben a sorozat diszkrét esetben geometriai (skatulyázott Bernoulli) eloszlású, folytonos esetben pedig exponenciális eloszlású.

Példák az eloszlásokra diszkrét esetben: ha az elemi események száma b - ami sorozatok esetén lehet egy számrendszer alapszáma-, továbbá az események egyletes eloszlású,  1/b  valószínűségűek, akkor a független elemi események valamely tetszőleges sorrendű, azaz mintázatú  k hosszú független sorozatainak - azaz a véletlen számok sorozatainak- valószínűségei geometriai eloszlásúak:

(b-1)/b  1/bkmax - 1,

és a sorozat paramétere  (b-1)/b, aminek a reciroka a sorozatok hosszának várható értéke b/(b-1), a paraméter reciprok értéke.  A várható értékek létezésének feltétele, hogy  kmax  megszámlálhatóan végtelen legyen, a valószínűségek összege ekkor 1 – b-kmax = 1. A geometriai eloszlás entropiája a maximális az exponenciális eloszlások között. 

Az exponenciális eloszlás esetén: az η ≥ 0 esetén a μ várható értékű folytonos valószínűségi eloszlások közül a λ = 1/μ értékű exponenciális eloszlás rendelkezik a legnagyobb differenciális entrópiával. Az exponenciális eloszlás a legnagyobb entrópiájú valószínűségi eloszlás η véletlen változóra, amely nagyobb vagy egyenlő nullánál, és amelyre E(η) rögzített (https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution). Az enrópia maximumát nem helyettesíti a csúcsosság, ami a lapultság reciproka, de egyszerűbben számítható.  

Definíció: a csúcsosság σ4értékű, ahol μ4 a negyedik momentumot jelöli, a csúcsosság a lapultság reciproka.
A csúcsosság értéke 1/3  normális eloszlásnál, 5/9  egyenletes eloszlásnál és 5/6  exponenciális eloszlásnál, 1/6  Laplace-eloszlásnál (https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution), és (1 - p) / (4 - 6p + 3p 2)  Bernoulli-eloszlásnál, (1 - p)/ (p- 9p + 9) geometriai eloszlásnál (https://mathworld.wolfram.com/GeometricDistribution.html), (1 - p)/[6 + p2/(1-p)] logisztikus eloszlásra, 5/16 logisztikus eloszlásra, λ/(1 + 3λ) Poisson-eloszlásra.