A Kálmán-szűrő érvényességi területének kiterjesztése
fehér, geometriai és exponenciális
zajfolyamatokra*
(2028 április)
Állítás: a Kálmán-szűrő érvényességi területe kiterjeszthető a független Gaussi-zajok esetéről nulla várható értékű egyenletes eloszlású véges szórású fehér zajokra. A kiterjesztéshez a fehér zaj nulla várható értéke szükséges feltétel, amikor a fehér zaj véges kovariancia mátrixa már tetszőleges lehet. (A fehér zajokra vonatkozóan ld.: https://en.wikipedia.org/wiki/Independent_and_identically_distributed_random_variables).
Megjegyzés: Az általánosításnál lényeges a független fehér zaj zérus várható értéke, mert ekkor a zaj kovariancia mátrixa tetszőleges véges értékű lehet: azaz a kovariancia függetlenül választható a várható értékétől.
(Bizonyítás a Maximális Entrópia elvével: az egyenletes eloszlás az az eloszlás, amely egy adott intervallumon maximalizálja az entrópiát. Ha a predikciós hiba egyenletes eloszlású és nulla várható értékű, az azt jelenti, hogy a hiba "maximálisan rendezetlen" az adott feltételek mellett. Bármilyen fennmaradó korreláció a predikció és a hiba között csökkentené ezt az entrópiát, mert struktúrát vinne a hibába. Egyenletes eloszlásnál az ortogonalitás a feltételes függetlenséget jelenti. A bizonyítás kulcsa a nulla várható érték. A korrelálatlanság feltétele: a feltételes eloszlás nem lenne azonos az egyenletes eloszlással. Az egyenletes eloszlásnál is az ortogonalitás biztosítja, hogy ne tudjunk több információt számítani az adatokból a predikció javítására.)
Vegyük észre, hogy a zaj és a folyamat függetlensége még két további esetben is teljesül: geometriai és exponenciális eloszlások esetén- A geometriai és exponenciális eloszlások örökifjú eloszlások, (https://en.wikipedia.org/wiki/Memorylessness), az értékük a jelenben független múltbeli értékeiktől, ezért függetlenség teljesül.
*English summary: Extension of the Kalman Filter’s to white, geometric, and exponential noise processes
Statement: The Kalman filter can be extended from the case of independent Gaussian noises with zero mean to white noises with uniform distribution and finite variance. For this extension, the zero mean of the white noise is a necessary condition, while the covariance matrix of the white noise can be arbitrary.
Note: The zero mean of the independent white noise is essential for the generalization, because in this case the noise covariance matrix can have any finite value: the covariance can be chosen independently of the mean of the state variable. The criterion of the covariance can be chosen independently of the expected value is satisfied in two additional cases when the state variable has a zero expected value: for geometric and exponential distributions, if we subtract the expected value of the distributions from the state variable of the Kalman filter. Geometric and exponential distributions are memoryless distributions (https://en.wikipedia.org/wiki/Memorylessness); their values are independent of past values, so independence is satisfied.
*Zusammenfassung in deutscher Sprache: Erweiterung des Anwendungsbereichs des Kalman-Filters auf weißes, geometrisches und exponentielles Rauschen.
Behauptung: Der Anwendungsbereich des Kalman-Filters lässt sich vom Fall unabhängiger Gaußscher Rauschen mit dem Erwartungswert Null auf weißes Rauschen mit gleichmäßiger Verteilung und endlicher Varianz mit dem Erwartungswert Null erweitern. Für die Erweiterung ist der Erwartungswert Null des weißen Rauschens eine notwendige Bedingung, während die Kovarianzmatrix des weißen Rauschens beliebig sein kann. (Zu weißem Rauschen siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Independent_and_identically_distributed_random_variables).
Anmerkung: Bei der Verallgemeinerung ist der Erwartungswert von Null des unabhängigen weißen Rauschens wesentlich, da in diesem Fall die Kovarianzmatrix des Rauschens einen beliebigen endlichen Wert annehmen kann: Die Kovarianz ist unabhängig vom Erwartungswert wählbar.
Beachten wir, dass das Kriterium, wonach die Kovarianz bei einem Erwartungswert von Null der Zustandsvariablen unabhängig wählbar ist, in zwei weiteren Fällen erfüllt ist: bei geometrischen und exponentiellen Verteilungen, wenn wir den Erwartungswert der Verteilungen von der Zustandsvariablen des Kalman-Filters abziehen. Die geometrische und die exponentielle Verteilung sind (https://en.wikipedia.org/wiki/Memorylessness), deren Werte in der Gegenwart unabhängig von vergangenen Werten sind, weshalb auch die Unabhängigkeit erfüllt ist.