Abstract
This study examines the properties of sequences of random digits—uniformly distributed over the interval [0, 1]—within the context of base b, encompassing both truly random and pseudorandom sequences. A new finding involves the refinement of the concept of "block-Borel normality" for countably infinite sequences: these sequences exhibit a memoryless, geometric distribution, wherein the asymptotic frequency of any given pattern of length L converges to (b-1)/bL. This approach establishes a new foundation for conducting chi-squared goodness-of-fit tests. Furthermore, by leveraging the theoretical extremal property of the Champernowne constant, a measure of discrepancy can be defined; the convergence and quality of empirical base b sequences can thus be assessed by calculating their stochastic distance from the ideal geometric distribution represented by the Champernowne constant.
Kivonat: A tanulmány a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású véletlen számjegyű sorozatok tulajdonságait vizsgálja b-alapú (b ≥ 2) valódi véletlen és pszeudovéletlen számsorozatok esetén. Új eredmény a megszámlálhatóan végtelen sorozatok blokk-Borel-normalitásának pontosítása: a sorozatok emlékezet nélküli, geometriai eloszlásúak, ahol egy tetszőleges L hosszúságú mintázat az aszimptotikus gyakoriság (b-1)/b L értékéhez konvergál. A megközelítés új alapot teremt a khí-négyzet (χ²) illeszkedésvizsgálatok elvégzéséhez. A Champernowne-konstans (C₁₀) elméleti szélsőérték-tulajdonsága alapján eltérési mérték (discrepancy) határozható meg, az empirikus b-alapú sorozatok konvergenciája és minősége mérhető a Champernowne-konstans ideális geometriai eloszlásától vett stochasztikus távolsággal.
Kulcsszavak: Borel-normalitás, b-alapú pszeudovéletlen sorozatok, valódi véletlenszám-generátorok (TRNG), örökifjú tulajdonság, geometriai eloszlás, Champernowne-konstans, eltérési mérték (discrepancy).
A b alapú véletlen számok legfontosabb matematikai tulajdonságai: statisztikai független örökifjú (!) sorozatok, megszámlálhatóan végtelenek, a periódushossz, a spektrális tulajdonságok és a számjegyeik eloszlása, 1/b.
1. Borel-normális számok és a jegyek eloszlása. Borel-féle tétel: majdnem minden valós szám Borel-normális, ha a mintázatok eloszlása egyenletes minden b alapra nézve. Egy konkrét (főleg algoritmikusan generált) számsorozatra bizonyítani nehéz. A matematika mai állása szerint sok ismert matematikai konstansról (π, e, 21/2, ln 2) csak sejtik, de nem tudják, hogy normális számok-e.
Ha egy [0, 1] intervallumban a valós számot b számrendszer beli törtként írunk fel, akkor a matematikai véletlenszerűség megköveteli, hogy a szám Borel-normális legyen a b alapra nézve.
• A számlegyek egyenletes eloszlása 1/b.
• Blokk Borel-normalitás: nemcsak az egyes számjegyek, hanem bármely L hosszúságú mintázat, számjegyblokk (pl. a "101" sorozat, b = 2) előfordulási valószínűségének is b-L az együttes előfordulás szerint és nem megszámlálhatóan végtelen esetben. Meszámlálhatóan végtelen esetben (b-1)/bL *, ahogy a sorozat hossza a végtelenhez tart:
* Megjegyzés (M1) a blokk Borel-normalitás pontosítása (új eredmény)
Állítás (A1.): A megszámlálhatóan végtelen Borel-normális sorozatok örökifjú sorozatok.
Az örökifjú tulajdonság, az emlékezetnélküliség, a valószínűségszámításban azt jelenti, hogy egy folyamat vagy esemény bekövetkezésének a jövőbeli ideje teljesen független attól, hogy mennyi idő telt el a múltban. Annak a valószínűsége, hogy a bekövetkezési idő hosszabb lesz, mint a+b (feltéve, hogy már kivártuk az a időt), pontosan megegyezik azzal a valószínűséggel, mintha az elejétől kezdve próbálnánk kivárni a b időt. Diszkrét esetben a geometriai, folytonos esetben az exponenciális eloszlások örökifjú eloszlások.
A2.: A megszámlálhatóan végtelen Borel-normális sorozatok örökifjú, geometriai eloszlásúak: (b-1)/bL eloszlással.
A3.: L = 1,2,....∞, és az összegük egységnyi. Az egységnyi hosszú sorozatok gyakorisága (b-1)/b és az eloszlás paramétere is (b-1)/b = 1 - 1/b.
M2.: Ha b = 2, a nem megszámlálhatóan végtelen esetben a Haar-mérték normálható. (Egy lokálisan kompakt topologikus csoporton létező Haar-mérték, legyen az bal- vagy jobb-Haar-mérték, akkor és csak akkor normálható, -akkor tehető valószínűségi mértékké, ahol a teljes tér mértéke 1-, ha a csoport kompakt.)
M3.: Teszt - a számjegyek 1/b gyakorisága, a khí-négyzet illeszkedésvizsgálat mellett-: egy L hosszú tetszőleges mintázat geometriai eloszlására, azaz (b-1)/bL gyakoriságára.
A4.: A Champernowne-konstans (C₁₀) szélsőérték tulajdonsága: legjobb a khí-négyzet tesztje számjegyekre, mintázatokra. A
számjegyek előfordulási gyakorisága a végtelenbe tartva tökéletesen egyenletes, és a mintázatok előfordulási gyakorisága a végtelenbe tartva tökéletesen geometriai eloszlású.
A legegyszerűbb és legismertebb bizonyítottan normális szám a 10-es számrendszerben, amit úgy kapunk, hogy a pozitív egész számokat egymás után írjuk a tizedesvessző után: C₁₀ = 0,12345678910111213141516... A szám normális a 10-es számrendszerben, de más számrendszerekben nem feltétlenül.
M4.: Ismert további normális számok: az Copeland–Erdős-konstans a 10-es számrendszerben, ahol a prímszámokat írjuk egymás után: CCE = 0,23571113171923293137...\), továbbá a Korobov-számok és Stoneham-számok, melyek speciálisan konstruált racionális törtek végtelen összegei, amelyeknél bizonyos számrendszerekben egzakt módon igazolható a normálisság. Például a Stoneham-konstans bizonyítottan normális a 2-es számrendszerben (de nem ismert, hogy normális-e mondjuk a 10-esben), továbbá a Sierpiński-féle bonyolult konstrukció. A π-ről, az e-ről és az ln 2 -ről a számítógépes statisztikai elemzések alapján (több billió számjegyig elszámolva) normálisak, de matematikai bizonyíték egyikre sincsen.
Eltérési mérték (Discrepancy)
A matematikai statisztikában a b -alapú sorozatok jóságát az eltéréssel (discrepancy) mérik. Azt mutatja, hogy a generált pontok mennyire térnek el az elméleti egyenletes eloszlástól. A b -alapú sorozatok konvergenciáját, jóságát mérhetjük a Champernowne-konstans sorozatainak konvergenciájától mért eltéréssel.
Alacsony eltérésű sorozatok (kvázi-random sorozatok): Ide tartoznak a Halton- vagy Sobol-sorozatok, amelyek nem a klasszikus értelemben vett "véletlenek", hanem úgy épülnek fel különböző b prím alapokon, hogy a térben a lehető legegyenletesebben oszoljanak el. Ezeket előszeretettel használják Quasi-Monte Carlo integrálásra.
Következtetés
A megszámlálhatóan végtelen Borel-normális sorozatok örökifjú, geometriai eloszlású valódi véletlen számok. A b -alapú sorozatok konvergenciáját, jóságát mérhetjük a Champernowne-konstans sorozatainak konvergenciájától mért eltéréssel.
