PAULI ERŐ
2023 május)
ABSTRACT
A Pauli erő egy kvantummechanikai erő, amely a részecskék de Broglie hullámhosszának megfelelő nagyságrendű távolságok esetén jelenik meg: a tiltást kifejező Pauli-elv következtében egy, a részecskék közeledését gátló és a sűrűsödésük ellen ható erő jelenik meg. A Pauli-erő a nyomás mérhető növekményeként is megfigyelhető a termikus nyomás mérésénék esetén: a részecskefelhő nyomása nagyobb lehet mint amit klasszikusan a hőmérséklet, részecskesűrűség alapján várnánk. A felhő nyomása kevésbé függ a hőmérséklettől mint ideális Fermi-gáz esetén. // PAULI FORCE: The Pauli force is a virtual quantum mechanical force that occurs at distances of the order of the de Broglie wavelength of the particles: a force that prevents the particles from approaching each other and acts against their densification, due to the Pauli principle of inhibition. The Pauli force observed in the quantum confinement phenomenon acts against the repulsive force between electrons. The Pauli force can also be observed as a measurable increase in pressure when measuring thermal pressure: the pressure of the particle cloud may be higher than would be expected classically from the temperature, particle density. The cloud pressure is less dependent on temperature than in the case of an ideal Fermi gas.
BEVEZETÉS
A Pauli féle erő értelmezése egy empírikus potenciálgödör segítségével történik, ami egy erőteret eredményez. Modellezése a meredek potenciálgödörrel történik és a modellben a potenciált kell késleltetni: a potenciálmező felépülése fénysebességű: A csatolásban lévő részecskék kizáró kapcsolata, a Pauli-elv végtelen sebességü. Az erő iránya olyan, hogy a Pauli-elvet sértő jelenség hatását csökkenti, a csökkenés mértéke alapján létezhetnek a Pauli- erő nagyságára becslések.
Az elfajult elektrongáz tulajdonságait, a kvantumbezárás jelenségét (kényszermozgás) és ezek kapcsolatát vizsgáltuk kétdimenziós elektrongáz esetén. A kutatás módja az internetes keresés volt, célja az ismeretterjesztésen túlmenően, a szilárdtest fizikában ismert, a kvantumbezárás jelenség okozta erő, a kéziratban Pauli-erőnek nevezett erő érvényességének kiterjesztése gázokra, töltéssel rendelkező, plazma szerű gázokra.
A jelenség megfigyelésének korai példáin nem csak szilárdtest-határfelületen, félvezetőknél, hanem hélium külső felületén is tapasztaltak kétdimenziós elektrongázt. Sommer 1964-es közleményében (Sommer, W. T. (1964. március 16.). „Liquid Helium as a Barrier to Electrons”. Physical Review Letters 12 (11), 271–273. o, Kiadó: Amerikai Fizikai Társaság. DOI:10.1103/physrevlett.12.271. ISSN 0031-9007.) folyékony hélium felületén kialakuló állapotokon elmozdulni képes elektronokról számolt be. Szigetelő anyagok esetében is tapasztalták a vezető felületi csatornák létrejöttét. Ilyen jelenség lép fel például a topológikus szigetelőkben (https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_insulator) is.
Degenerált (elfajult) elektrongáz (https://www.netfizika.hu/degeneralt-elfajult-gaz): "Az elfajulást kvantummechanikai effektusok okozzák: akkor áll elő az elfajulás, ha a gázrészecskék távolsága kicsi a részecskék de Broglie hullámhosszához képest. Feles spinű részecskék, pl. az elektronok a Fermi-Dirac-statisztikának tesznek eleget. Az elfajulás okozza alacsony hőmérsékelten a hélium szuperfolyékonyságát is. A csillagok belsejében a nagy nyomású, a teljesen ionizált atomokról leszakadt elektronok, mint "elektrongáz" kerülnek degenerált, elfajult állapotba.
Az elfajult elektrongázban a Pauli-elv miatt az elektronok között a további közeledés -a sűrűsödés- ellen ható erők, a Pauli erők ébrednek (amelynek semmi köze az elektronok között ható elektromos Coulomb-taszításhoz). Nem elfajult elektrongáz esetén az egymástól távol elhelyezkedő elektronok esetén (például egy forró, de kicsi tömegsűrűségű, ritka plazmában) az elektronok mindegyike alacsony energiaszinteken tartózkodik. Ezzel szemben degenerált állapotban az elektronok nagy sűrűsége esetén a Pauli-féle kizárási elv miatt nem tartózkodhatnak ugyanazon az energiaszinten, nagyobb energiájú állapotokat kénytelenek betölteni. A nagyobb energia nagyobb sebességgel is jár. A nagy sebességű elektronok pedig olyanok, mint a gyorsan röpködő gázmolekulák: ütközéseik során erőt fejtenek ki, ami nyomásnövekedéssel jár. Az elektrongáznak így többlet nyomása lesz, mert a Pauli-elv nagyobb energiaszintekre kényszeríti őket, ezt nevezik elfajult elektrongáz nyomásának. A degenerált elektrongáz nyomása nagyobb, mint amit klasszikusan a hőmérséklet, részecskesűrűség alapján várnánk."
A kvantumbezárás jelenségének valószínűsége nagyobb, ha kicsi a részecskék tömege, ezért az elektronoknál figyelhető meg a legkönnyebben. Az elektron energiaszintek nem folytonosak, hanem diszkrétek, véges állapotsűrűségűek. Az elektronok számára megengedett energiaállapotok kvázifolytonos enegiasávokba állnak össze: a sávok szélessége, állapotsűrűsége, illetve a sávokat elválasztó tiltott sávok határozzák meg a gázjellemzőket. A kétdimenziós elektrongáz állapotsűrűségében diszkrét ugrások vannak, sok megengedett kvantumállapot lehetséges, de ezek nem állnak össze összefüggő energiasávokká (https://hu.wikipedia.org/wiki/Kvantumbez%C3%A1r%C3%A1s). A Pauli erő nagyságát az elektronok száma és állapotai határozzák meg.
"A többletnyomás elég lehet ahhoz, hogy a csillagmag bizonyos erejű gravitációnak ellenálljon, megakadályozva a csillag belsejének további összeroskadását. A 8 naptömegnél kisebb kezdeti tömegű csillagok élete végén (vagyis a barna törpékben, a vörös törpékben és az 1,4 naptömeg alatti fehér törpékben) az elfajult elektrongáz nyomása állítja meg a gravitáció összepréselő hatását, stabilizálva ezzel a csillag állapotát, méretét. Ha a fehér törpe egy szomszédos csillagtól anyagot szippant magába, és ennek révén 1,4 naptömeg fölé hízik, vagy amikor a II-es típusú szupernóva robbanás végén visszamaradó csillagmag 1,4 naptömegnél nagyobb, ezekben az esetekben a gravitáció legyőzi a Pauli-erőt, és az elektronokat belepréseli a protonokba, neutronná olvasztva össze őket, amitől létrejön a neutroncsillag. Az elfajult gáznyomás effektus azonban nem tűnik el, ugyanis a neutronok spinje is feles, vagyis rájuk is érvényes a Pauli-elv. A neutroncsillagokban a neutronokból álló elfajult "gáz" nyomása állítja meg a gravitáció által erőltetett összehúzódását. Azonban ha a neutroncsillag tömege nagyobb, mint 3 naptömeg, akkor az elfajult neutronok nyomását legyőzi a gravitáció, és a neutroncsillag összeroskad fekete lyukká. Amikor egy degenerált gáz nyomását már le tudja legyőzni a gravitáció, olyankor a degenerált gáz részecskéi már olyan magas energiaszintekre kényszerültek, ahol a sebességük megközelíti a fénysebességet."
Kétdimenziós elektrongáz (https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%A9tdimenzi%C3%B3s_elektrong%C3%A1z)
a félvezető eszközökben is fellépő jelenség. Amikor az elektronok a tér két irányában szabadon elmozdulhatnak, a harmadik irányban pedig a Pauli erő okozta kvantumbezárás érvényesül, egy sajátos elektromos transzportjellemzőkkel rendelkező réteg alakul ki az anyagban.
a félvezető eszközökben is fellépő jelenség. Amikor az elektronok a tér két irányában szabadon elmozdulhatnak, a harmadik irányban pedig a Pauli erő okozta kvantumbezárás érvényesül, egy sajátos elektromos transzportjellemzőkkel rendelkező réteg alakul ki az anyagban.
Az elektronok számára megengedett kvantumállapotok a bezárási irányban diszkrét energiaszintekre válnak el egymástól, mozgásuk csak a kétdimenziós elektrongáz síkjában történik. Akkor jöhet létre kétdimenziós elektrongáz, ha a félvezetőkben a határfelületen, a termikus egyensúly beállásakor végbemenő sávelhajlások következtében a vezetési sáv éle a Fermi-szint alá kerül.
A tartományban a vezetési sávnak megfelelő állapotsűrűség lenne érvényes, tehát a félvezető anyag a csatornában vezető jellegű lehetne, azonban a térbeli bezártság miatt kvantumbezárási jelenség is fellép, ezért a felületre merőlegesen csak energiában kvantált állapotok megengedettek. A kétdimenziós elektrongáz-tartományt úgy modellezik, hogy a síkjába eső irányokban kiterjedt, arra merőlegesen pedig potenciálgödör-jellegű megoldásokat vesznek számításba.
Nagy sűrűségű elektron felhőben a két -Heisenberg és Pauli- kvantummechanikai elv együttes hatása a sűrűséget csökkenteni igyekszik. Ha ugyanis a részecskék átlagos távolsága Δx alá csökken, akkor ennek hatására ezek Δp impulzusbizonytalansága megnő. A kvantumstatisztika értelmében a koordináták és az impulzusok alkotta 6-dimenziós fázistér felosztható h3 nagyságú kvantumcellákra. A Heisenberg- és Pauli-elvek értelmében minden egyes kvantumcellában legfeljebb két fermion tartózkodhat (ellentétes spinnel). Ha minden kvantumcella betöltődött, és a részecskéket még jobban össze akarnánk nyomni, a rendszerben megjelenik egy kvantumos eredetű nyomás (kvantumnyomás), amely nem függ a hőmérséklettől, hanem a részecskék sűrűségétől függ. Az ilyen állapotú anyagot elfajult (degenerált) állapotú-nak nevezik. (http://www.phy.bme.hu/~szunyogh/Fiz_GMK_MSc/Elektronok_femekben.pdf). Kimutatható, hogy a sűrű elektrongáz elfajulttá válik. A degenerált elektrongáz nyomása nagyobb, mint amit klasszikusan a hőmérséklet, részecskesűrűség alapján várnánk.
Ha az elektronok koncentrációja ne , akkor az egy elektronra jutó átlagos térfogat 1/ne ≈ L 3 , ahol L az elektronok közti átlagos távolság. Ha a sűrűség nagyon nagy, akkor a távolság nagyon kicsi lesz: ekkor a Heisenberg-elv értelmében a Fermi impulzus:
Δp ≈ h/ 2π L = h/2π ne 1/3 = pF , aminek megfelelő Fermi energia pF 2/2me . Az elektrongáz akkor válik elfajulttá, amikor a Fermi-energia meghaladja a kT termikus energiát, ahol T a hőmérséklet Kelvin fokban (k = 1.380649 10 -23 J/K, https://hu.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-%C3%A1lland%C3%B3), és a gázrészecskék távolsága λ = h/(3me kT)1/2 de Broglie hullámhossz nagyságrendjében van. (https://hu.wikipedia.org/wiki/Szabadelektron-modell, http://astro.u-szeged.hu/oktatas/asztrofizika/html/node14.html)
Tehát az elfajulás hamarabb következik be, ha a részecskék tömege kicsi. Ez az oka annak, hogy legkönnyebben az elektronok kerülnek elfajult állapotba, könnyebben mint a protonok. A Fermi-energia kifejezését behelyettesítve a nyomásintegrál képletébe, elemi integrálás után adódik a nemrelativisztikus elfajult elektrongáz állapotegyenlete. Ha az elektronok relativisztikus energiájúak, ehhez teljesen hasonló kifejezés adódik, csak a konstans és a kitevő értéke lesz más. Ideális esetben a felületén a vezetőképesség nulla, ami a hőmérséklet és az energia növekedésével diszkrét 2e2/h lépésekben nő.
*Wolfgang Pauli: https://www.termvil.hu/archiv/tv2000/tv0005/pauli.html
**